Использование математических моделей

Многие исторические процессы подобны динамике природных экосистем. Численность населения увеличивается или сокращается, экономика растет или приходит в упадок, государства укрепляются или разваливаются. Как можем мы изучить те механизмы, которые приводят к изменениям во времени, и объяснить наблюдаемые тра­ектории исторической динамики? Достаточно естественным явля­ется следующий подход, показавший свою исключительно высо­кую эффективность при изучении множества вопросов, в особен­ности (но не только) в естественных науках. Этот подход заключа­ется в том, чтобы взять некий целостный феномен и мысленно разделить его на несколько отдельных частей, которые рассматри­ваются как взаимодействующие между собой. Такой подход назы­вается «динамическим системным», потому что целостный фено­мен здесь рассматривается как система, состоящая из нескольких взаимодействующих компонентов (или субсистем).

В рамках динамического системного подхода мы должны ма­тематически описать, как различные субсистемы взаимодействуют друг с другом. Это математическое описание и будет представлять собой модель данной системы, при этом мы можем использовать

Теория и методология истории

целый ряд методов для изучения генерируемой данной моделью динамики; мы можем также протестировать модель, сопоставив динамику, предсказываемую моделью, с реально наблюдаемой ди­намикой.

В общем и целом, модели представляют собой упрощенные описания реальности, которые абстрагируются от всей ее неисчер­паемой сложности и ограничиваются учетом лишь нескольких ха­рактеристик, рассматривающихся в качестве критически важных для понимания изучаемого феномена. Математические модели представляют собой такие описания, переведенные на очень стро­гий и точный язык, который, в отличие от естественных языков, не допускает какой-либо двусмысленности. Большая сила математики заключается в том, что после того, как мы сформулировали про­блему на математическом языке, мы можем точно установить, что вытекает из сделанных нами допущений. Таким образом, матема­тика представляет собой незаменимый инструмент для настоящей науки; та или иная научная отрасль может считаться достигшей теоретической зрелости только после того, как она развила необхо­димый математический аппарат, который обычно представляет со­бой систему взаимосвязанных конкретных узко сфокусированных моделей.

Концептуальное представление любого целостного феномена как взаимодействующих субсистем всегда является до некоторой степени искусственным. Данная искусственность сама по себе не может служить аргументом против любой конкретной модели той или иной системы. Все модели упрощают реальность. Ценность той или иной модели может быть установлена только при ее сопос­тавлении с ее альтернативами; при этом должно приниматься во внимание, насколько точно каждая модель описывает реальную динамику, насколько она экономна и насколько использованные в ней допущения противоречат реальности. При этом важно пом­нить, что в естественных науках известно множество очень полез­ных моделей, относительно которых известно, что они построены на неистинных допущениях. Собственно говоря, все модели по оп­ределению не являются истиной, и это обстоятельство не может использоваться против них.

Нельзя сказать, что построение теории невозможно без матема­тических моделей, но есть области знания, в которых без формаль-

Глава 23. Математическое моделирование. Клиодинамика 455

ных моделей не обойтись. Математические модели особенно важ­ны при исследовании динамики, потому что для динамических фе­номенов характерны нелинейные обратные связи, которые к тому же зачастую действуют с запаздыванием во времени (лагом). Не­формальные вербальные модели могут быть вполне адекватны для предсказания динамики в тех случаях, когда предполагаемые меха­низмы действуют линейно или аддитивно (как, например, при экс­траполяции тренда), но такие рассуждения могут привести к серь­езнейшему заблуждению, когда мы имеем дело с системой, харак­теризующейся нелинейностью и лагами. В целом, нелинейные ди­намические системы имеют значительно более широкий спектр поведения, чем это можно было бы себе представить на нефор­мальном вербальном уровне. Таким образом, формальный матема­тический аппарат оказывается совершенно незаменимым, если мы хотим строго вывести из множества допущений относительно сис­темы предсказание ее динамического поведения.

Моделирование любой конкретной эмпирической системы яв­ляется искусством в столь же высокой степени, как и наукой. Мо­дели создаются для самых разных целей, например для компактно­го описания того или иного исторического процесса. Такая модель может быть применена для реконструкции возможной динамики некоторых параметров изучаемого процесса, о которых данные не сохранились. Другой вид моделирования связан с анализом исто­рических альтернатив (эта тема обсуждалась Л. И. Бородкиным во время круглого стола «Возможны ли математические модели в ис­тории?» (см.: Общественные… 2004). Кроме того, модели могут использоваться для исследования логической непротиворечивости предлагаемого объяснения и для получения конкретных выводов из теории, которые могли бы быть протестированы при помощи эм­пирических данных. В зависимости от поставленных нами целей мы можем конструировать разные модели одной и той же эмпири­ческой системы.

Очень важна роль моделей для тренировки нашей интуиции, для того, чтобы обозначить пределы возможного. Приведем еще один пример из популяционной экологии (Turchin 2003). Один из основоположников экологической науки Чарльз Эльтон в 1921 г. был проездом в Норвегии, где он зашел в книжный магазин. Листая книгу о норвежских млекопитающих, которая, в частности, описы­вала нашествия леммингов, Эльтон обратил внимание на то, что

456 Теория и методология истории

годы нашествий чередовались крайне регулярно, с промежутком в 4–5 лет. Такая периодичность показалась Эльтону заслуживаю­щей внимания (кстати, сам автор книги, видимо не обратил внима­ния на эту закономерность), и он стал искать другие данные о чис­ленности млекопитающих. Большой массив данных имелся у ком­пании Гудзонова залива, которая уже несколько столетий импор­тировала меха из Канады. В этих данных Эльтон обнаружил очень четкий 10-летний цикл. Так началось научное изучение популяци-онных циклов.

Однако самое интересное не в этом. В 1923 г. Эльтон написал статью о популяционных циклах млекопитающих и выдвинул не­сколько гипотез для возможного объяснения этой динамики. Про­шел год, и как-то Эльтон сидел в своем кабинете в Оксфорде, когда дверь распахнулась, и к нему ворвался чрезвычайно возбужденный Джулиан Хаксли, ментор Эльтона и очень известный эволюцион­ный биолог. Хаксли положил перед Эльтоном последний выпуск журнала “Nature”, где в короткой статье итальянский математик Вито Вольтерра, проанализировав модель взаимодействия хищни­ков и жертв, доказал, что это взаимодействие приводит к циклам. Эльтон и Хаксли были потрясены – идея была для них совершенно нова. Оба они были великими учеными, но даже их интуиция не смогла вывести их на правильный путь, пока математическая мо­дель не осветила его. В настоящее время модель «хищник – жерт­ва» Лотки – Вольтерры изучается в обязательном порядке в любом курсе дифференциальных уравнений.

Существует несколько эвристических правил, которые помо­гают создавать полезные модели. Первое правило гласит: не пы­тайся охватить своей моделью более двух иерархических уровней. Нарушающая это правило модель пытается моделировать одновре­менно как динамику взаимодействия субсистем внутри системы, так и взаимодействие субсубсистем внутри каждой субсистемы. Примером здесь могли бы служить попытки смоделировать дина­мику взаимодействия государств через моделирование поведения каждого из их граждан. С практической точки зрения даже у самых мощных современных компьютеров уходит много времени на си­мулирование поведения систем, состоящих из миллионов агентов. С концептуальной же точки зрения здесь более важным представ­ляется то обстоятельство, что результаты такой многоуровневой симуляции интерпретируются с очень большим трудом. Практика

Глава 23. Математическое моделирование. Клиодинамика 457

показывает, что вопросы, связанные с математическим описанием поведения многоуровневых систем, должны решаться через от­дельное рассмотрение проблем каждого уровня или, скорее, пары уровней (моделирование более низкого уровня дает понимание ме­ханизмов, а более высокого – закономерностей).

Второе общее правило заключается в стремлении к лаконично­сти, простоте модели. Возможно, лучшее определение научной ла­коничности было дано Эйнштейном, сказавшим, что модель долж­на быть настолько простой, насколько это возможно, но не проще этого. Конечно, очень соблазнительно попытаться включить в мо­дель все, что мы знаем об изучаемой системе. Однако опыт снова и снова показывает, что это лучший способ завести самого себя в тупик.

Таким образом, конструирование моделей всегда требует упрощающих допущений. Это может показаться удивительным, но получаемые на их основе модели нередко дают действительно ценные результаты. Уже при помощи самых упрощенных моделей можно исследовать роль использованных в них допущений. После­дующие тесты новых моделей могут помочь уточнить теорию и повысить нашу уверенность в правильности предлагаемых ею от­ветов. В результате мы получаем тесно связанное множество моде­лей и данных, используемых для оценки параметров моделей и тес­тирования динамики, генерируемой этими моделями. После того как набирается критическая масса моделей и данных, научная дис­циплина может рассматриваться как достигшая своей зрелости (но это, конечно же, не означает, что она нашла ответы на все стоящие перед ней вопросы).

Сложной частью создания теории является выбор подлежащих моделированию механизмов, выдвижение допущений о том, как взаимодействуют различные субсистемы, отбор функциональных форм и оценка параметров. После того как эта работа проделана, ра­бота с моделями не представляет особых сложностей, хотя на это и уходит много времени и сил. Для простых моделей можно найти аналитические решения. Однако когда модель достигает даже сред­него уровня сложности, нам обычно приходится прибегать ко вто­рому методу: к ее числовому решению при помощи компьютера.

Третий принцип заключается в использовании агентно-ориен­тированных имитационных моделей. Математические модели осо-

458 Теория и методология истории

бенно нужны при изучении динамических процессов, так как нели­нейные обратные связи плохо просчитываются человеческим разу­мом, не вооруженным формальным математическим аппаратом и компьютером.