Анализ сочетаний факторных значений и аппарат булевой алгебры

Согласно соединенному методу все «хаотичные» факторы отбра­сываются. При этом теряется большой объем информации, связан-

В классическом списке Бэкона – Милля есть также метод остатков и метод сопутствующих изменений. Первый крайне затруднительно (невозможно?) использовать в социально-историческом познании, а второй с успехом покрывается корреляционным, факторным анализом и другими математическими методами обработки данных, см. главу 23 настояще­го издания.

Теория и методология истории

ный с эффектом разных сочетаний факторных значений. Действи­тельно, присутствие некоторого признака A (факторное значение 1) может быть не во всех позитивных случаях (с высоким значением экспланандума). Однако в сочетании с другими факторными зна­чениями этот признак может всегда сопутствовать позитивным случаям. Для учета этой важной информации применяется логика анализа необходимых и достаточных условий, в том числе, прием INUS-условия по Дж. Маки⁴. Гораздо более мощным, одновремен­но наглядным и простым является формальный аппарат булевой алгебры, удачно модифицированный Чарльзом Рэгином для соци­альных и исторических исследований (Рэгин 1987; 1994). Как и в методах Бэкона – Милля, для применения этого подхода все факто­ры должны быть бинаризованы (шкала со значениями 1 и 0).

Формализм задается довольно просто. Присутствие признака (1) обозначается прописной буквой фактора, а отсутствие признака (0) – строчной. В левой части уравнения ставится экспланандум, часто обозначаемый через S для позитивных случаев и соответст­венно s – для негативных.

Правая часть уравнения, например, для позитивных случаев, образуется как логическая сумма (нестрогая дизъюнкция) блоков факторных значений (что обозначается знаком +). Внутри каждого блока факторные значения связаны логическим умножением – конъюнктивно.

В этом языке ясно представляются необходимые и достаточные условия.

S = AC + Bc (никакая из отдельных причин не является необхо­димой или достаточной);

S = AC + BC = C(A + B) (С необходимо, но недостаточно);

S = AC (A и C по отдельности необходимы, но не достаточны; при этом само сочетание AC необходимо и достаточно);

INUS-условие (Insufficient Necessary part in Unnecessary Sufficient condition) – это недостаточная, но необходимая часть в не-необходимом, но достаточном условии. Например, в суждении «короткое замыкание вызвало пожар в доме» короткое замыкание не является единственным условием пожара – должны присутствовать также сгораемые материалы, должна отсутствовать предохранительная система и т. д. Но когда эти условия взяты вместе, короткое замыкание является необходимым компонентом для пожара (недостаточная, но необходимая часть – IN). В то же время другие множества условий также могли вызвать пожар – условия, включающие непогашенные сигареты или зажигательные бомбы. Иными словами, первый комплекс условий с замыканием был не­необходимым, но достаточным (US). Далее будет показано, как INUS-условие формализуется в аппарате булевой алгебры.

Глава 20. Логические методы и средства в познании 423

S = A + Bc (A достаточно, но не необходимо);

S = B (B необходимо и достаточно).

Что же такое INUS-условие в данном формализме? Это не что иное, как любое факторное значение (буква), то есть недостаточная и необходимая часть (Insufficient Necessary), внутри любого конъ­юнктивного сочетания значений (блока букв) как не-необходимого (поскольку есть еще другие сочетания значений), но достаточного условия (Unnecessary Sufficient).

Откуда появляются эти уравнения и блоки факторных зна­чений?

Если взять верхнюю часть заполненной таблицы по соединен­ному методу, то строка факторных значений по каждому случаю и будет представлена как отдельный блок (табл. 4). Ясно, что в ка­ждом позитивном случае было именно такое конъюнктивное соче­тание факторных значений. Но и другие сочетания также дают по­зитивный результат, поэтому блоки значений между собой связаны дизъюнктивно.

Таблица 4. Условный пример исходной таблицы данных для при­менения аппарата булевой алгебры

 

	A	в	C D E	F	G	s
Позитивные случаи
Случай 1
Случай 2
Случай 3
Случай 4
Негативные случаи
Случай 1
Случай 2
Случай 3

Согласно приведенным правилам, верхняя часть табл. 4 легко переводится в следующую формулу:

S = ABcdeFg + ABCDdefG + aBcDefG + ABcdeFG.

Когда случаев и факторов много, получаются довольно гро­моздкие выражения. Для получения внятной, умопостигаемой ги­потезы их нужно как-то упростить. Здесь и пригождается формали­зация, поскольку с правой частью уравнения можно проводить не­которые манипуляции, уже не обращаясь к содержанию каждого фактора.

Теория и методология истории

Первое очевидное действие – выделить общие сомножители в правой части уравнения. Эта процедура называется факториза­цией и полностью соответствует выделению единственного сходст­ва в методе сходства и соединенном методе. Так выделяется необ­ходимое, но недостаточное условие:

S = AC + BC = C (A + B).

В оставшемся выражении с помощью той же факторизации вы­деляются и элиминируются все тавтологии. Например, тавтология­ми являются выражения такого типа, оказавшиеся внутри скобок:

(A + a), (B + b), (AС + Ac + AC + ac) и т. д.

Действительно, такие сочетания внутри блока означают нере­левантность таких факторов, при любом значении которых проис­ходит интересующее явление. Однако это не полная нерелевант­ность, поскольку в других блоках значений (и соответствующих исторических случаях) тавтологии уже может не быть, значит, тот же фактор может играть свою роль.

Наконец, последней процедурой упрощения является выделе­ние релевантных первичных импликантов. Покажем весь ряд опе­раций на условном примере уравнения, полученного из табл. 4.

В правой части уравнения

S = ABcdeFg + ABCdefG + aBcDefG + ABcdeFG проводим факторизацию. Общими для всех случаев являются толь­ко два фактора:

S = eB (AcdFg + ACdfG + acDfG + AcdFG).

Выделяем и устраняем тавтологии:

S = eB (AcdF (g + G) + AdfG (C + c) + acDfG);

S = eB (AcdF + AdfG + acDfG).

Строим таблицу первичных импликантов (всех встречающихся пар факторных значений), которые располагаем в крайнем левом столбце. «Сырые выражения» (оставшиеся после проведенных процедур) располагаем в названиях столбцов. Отмечаем те ячейки, в которых первичный импликант входит в «сырое выражение» (табл. 5).

Таблица 5. Выделение первичных импликантов

 

	AcdF	AdfG	acDfG
Ac	X
cd	X
dF	X

Глава 20. Логические методы и средства в познании 425

Окончание табл. 5

 

Af	X
Ad	X	X
cF	X
ac			X
AG		X
dG		X
df		X
aD			X
af			X
cD			X
cG			X
aG			X
fG		X	X

Из таблицы 5 видно, что все «сырые выражения» покрываются только двумя импликантами – Ad и fG. Они и считаются релевант­ными.

Итак, получаем итоговую формулу: S = eB (Ad + fG).

Заметим, что с помощью метода единственного сходства уда­лось бы выявить только признаки eB, остальная информация от со­четаний факторных значений была бы потеряна. Теперь же есть довольно простое, но нетривиальное выражение, которое без фор­мализации вряд ли удалось бы получить. Можно возвращаться к содержательной интерпретации каждого фактора и уже в анализе исторических случаев задаться вопросом: почему оказывается столь важным для S именно сочетание присутствия фактора А с от­сутствием фактора D и сочетание отсутствия фактора F с присутст­вием фактора G? Именно благодаря таким вопросам и детальному содержательному анализу случаев, обобщению неочевидных инва­риантных условий появляются нетривиальные идеи относительно внутренних закономерностей исторической динамики.