Температурная зависимость проводимости чистых полупроводников

 

При нагревании полупроводника происходит обогащение его электронами и дырками. Поэтому электрическое сопротивление полупроводников заметно снижается с ростом температуры. С повышением температуры на один градус удельное сопротивление полупроводников уменьшается, как правило, на 5-6 %.

Зависимость сопротивления  полупроводников от температуры T в определённых температурных интервалах описывается выражением:

,                        (15.7)

где  – константа, имеющая смысл предельного сопротивления при T®¥,  - энергия активации, k - постоянная Больцмана.

    Поясним кратко вывод зависимости (15.7). Распределение электронов по состояниям (среднее число электронов в состоянии) при температуре T дается функцией распределения Ферми-Дирака (см. Прил. 6)

,                    (15.8)

где химический потенциал  называют уровнем Ферми. В собственных полупроводниках плотность свободных электронов в зоне проводимости (см. рис. 15.3б и 15.9) оказывается много меньшей, чем в металлах и среднее число электронов в каждом состоянии много меньше единицы:

, .            (15.9)

Поэтому уже при комнатной температуре электронный газ во многих полупроводниках является невырожденными и подчиняется классической статистике с функцией распределения

.           (15.10)

 

Рис. 15.9. Зонная схема и энергия Ферми  для собственного полупроводника

 

Будем отсчитывать кинетическую энергию электронов  с импульсом  и эффективной массой  от дна зоны проводимости (см. рис. 15.8б, 15.9). Тогда вычисление полной концентрации электронов n в зоне проводимости дает (подробнее см. [12,27])

.           (15.11)

Если принять энергию полностью заполненной валентной зоны за 0, то энергия состояния системы, получаемого при переходе электрона на дно зоны проводимости со все более глубоких уровней валентной зоны будет увеличиваться. Поэтому энергия дырки растет при ее опускании от вершины валентной зоны

,                        (15.12)

где  – энергия, отсчитываемая вниз от вершины валентной зоны. Расчет подобный (15.11) для концентрации дырок p с заменой эффективной массы электрона  на эффективную массу дырки  и энергии  на энергию дырки (15.12) дает

.       (15.13)

В собственных полупроводниках концентрации электронов и дырок равны n = p, так как каждый электрон, переходящий в зону проводимости, создает в валентной зоне дырку, поэтому

.              (15.14)

Решая уравнение (15.14) относительно m, получим выражение для энергии Ферми

.      (15.15)

При абсолютном нуле (T = 0) уровень Ферми располагается ровно посередине запрещенной зоны (см. рис. 15.11)

.        (15.16)

С повышением температуры он незначительно смещается, но этим можно пренебречь.

Если к полупроводнику приложено электрическое поле , то в нем возникает электрический ток – направленное движение электронов и дырок. Плотность тока равна

,                                (15.17)

где e – элементарный заряд, n и p – концентрации электронов и дырок,  и  – скорости дрейфа электронов и дырок. Скорости дрейфа электронов и дырок (противоположные по направлению) пропорциональны напряженности электрического поля

, ,                          (15.18)

где ,  – подвижности электронов и дырок. Поэтому плотность тока пропорциональна  (закон Ома)

,                    (15.19)

где s – удельная электрическая проводимость (удельная электропроводность) проводника. Следовательно, удельная электропроводность равна

.                               (15.20)

Величина обратная удельной электропроводности называется удельным электрическим сопротивлением

.                                         (15.21)

При дрейфе электронов и дырок в полупроводнике они рассеиваются на тепловых колебаниях атомов кристалла и на ионизированных атомах примесей. С увеличением температуры усиление рассеяния электронов на тепловых колебаниях уменьшает скорость дрейфа электронов и снижает их подвижность. Подвижность носителей заряда в полупроводниках зависит от температуры по закону

.                           (15.22)

а концентрация носителей заряда согласно формулам (15.11), (15.13) - по закону

.                    (15.23)

В результате зависимость проводимости от температуры имеет вид

,                   (15.24)

где  – константа, имеющая смысл предельной проводимости при T®¥. Отсюда и следует формула (15.3).

Как видно из формул (15.23), (15.24) уменьшение сопротивления с возрастанием температуры, в основном, объясняется увеличением количества носителей тока, т.е. концентрации свободных электронов и дырок.

Наличие отрицательного температурного коэффициента сопротивления является характерным свойством полупроводников. Зависимость проводимости  от T удобно представлять в полулогарифмических координатах

.                   (15.25)

Если по оси абсцисс отложить 1/Т, а по оси ординат , то получится прямая, отсекающая на оси ординат отрезок  (рис. 15.12а). Угловой коэффициент этой прямой равен . Построив такой график, можно определить постоянную  и ширину запрещенной зоны . В качестве примера на рис. 15.10б показаны экспериментальные зависимости  от 1/Т для чистых германия и кремния. Она находится в хорошем согласии с теоретическим графиком, приведенным на рис. 15.10а. Ширина запрещенной зоны, определенная по наклону кривых, оказалась равной 0.72 эВ для германия и 1.2 эВ для кремния, что в пределах погрешности соответствует данным табл. 15.1.

а                                                 б

Рис. 15.10. Зависимость проводимости собственных полупроводников s от температуры : а) – схематичный график, б) – экспериментальные данные для германия и кремния [27]