Передумови МНК, теорема Гаусса -Маркова.

Можна показати, що властивості оцінок коефіцієнтів регресії ( ), а також і якість побудованої регресії істотно залежать від властивостей випадкового відхилення ( ). Доведено, що для одержання за МНК найкращих результатів необхідно, щоб виконувався ряд передумов щодо випадкового відхилення.

Передумови МНК (умови Гаусса – Маркова):

1°. Математичне сподівання випадкового відхилення  дорівнює нулю:  для всіх спостережень.

2°. Дисперсія випадкових відхилень  постійна: для будь-яких спостережень  і .

Здійсненність даної передумови називається гомоскедастичністю, нездійсненність – гетероскедастичністю.

3°. Випадкові відхилення  і  є незалежними ( ):

                              (3)

У випадку, якщо дана умова виконується, то говорять про відсутність автокореляції.

4°. Випадкове відхилення незалежне від пояснюючих змінних:

           (4)

5°. Модель є лінійною щодо параметрів.

Теорема Гаусса-Маркова. Якщо передумови 1° – 5° виконані, то оцінки, отримані за МНК, мають наступні властивості:

1. Оцінки є незміщеними, тобто , .

2. Оцінки спроможні (обґрунтовані), тобто дисперсія оцінок параметрів при зростанні числа  спостережень прагне до нуля: , .

3. Оцінки ефективні, тобто вони мають найменшу дисперсію в порівнянні з будь-якими іншими оцінками даних параметрів, лінійними щодо величин .

В англомовній літературі такі оцінки називаються BLUE – найкращі лінійні незміщені оцінки. Якщо передумови 2° і 3° порушені, то властивості незміщеності і спроможності зберігаються, а властивість ефективності – ні.

 

 

Поняття гетероскедастичності та її наслідки.

Однією з таких передумов  МНК є умова сталості дисперсій випадкових відхилень :

 для будь-яких спостережень  і .

Якщо дана передумова виконується, то має місце гомоскедастичністъ (сталість дисперсії відхилень). Невиконання даної передумови називається гетероскедастичністю (дисперсія відхилень не є сталою). Наведемо приклади гомо- і гетероскедастичності на рис. 1, 2 .

 

Рис. 1 Гомоскедастичність       Рис. 2 Гетероскедастичність

Поняття мультиколінеарності та її наслідки .

Мультиколінеарність означає існування тісної лінійної залежності, або сильної кореляції, між двома чи більше пояснюючими змінними.

Наслідки мультиколінеарності:

1) великі дисперсії (стандартні помилки) оцінок теоретичних параметрів;

2) зменшуються t - статистики коефіцієнтів, що може привести до невірного висновку про вплив відповідної пояснюючої змінної на залежну змінну;

3) оцінки теоретичних параметрів і їхні стандартні помилки стають дуже чуттєвими до найменшої зміни даних, тобто вони стають нестійкими;

4)  можливе одержання невірного знака коефіцієнта регресії.

Порівняння двох регресійних моделей. Тест Чоу.

Природа Dummy-змінних.

Економічні явища, які досліджує економетрія, дуже різноманітні. На залежну змінну поряд із кількісними факторами впливають і якісні: стать, релігія, страйки, війни, зміни в економічній політиці тощо.

Потрібно вміти вводити якісні дані в багатофакторні регресійні моделі, оцінювати параметри і аналізувати отримані результати.

Якісні змінні часто є бінарними: вони отримують значення “1” при наявності певної якості і “0” при її відcутності. Такі змінні називаються dummy-змінними. Пара (0,1) може легко трансформуватись у будь-яку іншу пару лінійним перетворенням , де а та b –конмтанти, а z=1 або нулю. Наприклад, коли z=1, y=a+b, аколи z=0, y=a.

Dummy-змінні можуть використовуватись у регресійних моделях поряд з кількісними змінними, а можуть утворювати регресійні моделі, в яких усі фактори є dummy-змінними (АОV – моделі).

Розглянемо особливості, які виникають при введенні dummy-змінних.

По-перше, dummy-змінні відокремлюють різні класи або різні категорії.

По-друге, під час інтерпретації результатів моделей, які використовують dummy-змінні, важливо знати, які саме категорії позначались через 1, а які через 0.

По-третє, клас, або категорія, позначена 0 (нулем), часто розглядається як базова категорія. Вона є базовою в тому розумінні, що порівняння робиться саме на основі цієї категорії.