Розрахунок парних коефіцієнтів кореляції

Парний коефіцієнт кореляції між будь-якими двома змінними, наприклад між Х і Y, визначають за формулою

Зауваження. Оскільки в чисельнику маємо коефіцієнт коваріації між відповідними змінними, а в знаменнику – їх стандартні відхилення, слід пам’ятати, що кореляція – це просто нормована коваріація між цими змінними, але на відміну від останньої завдяки нормуванню вона не залежить від розмірності цих змінних (тобто є безрозмірна, отже, універсальна для зіставлень).

Повний перелік парних коефіцієнтів кореляції складає так звану кореляційну матрицю r:

r =

Кореляційна матриця завжди симетрична відносно головної діагоналі. Елементи головної діагоналі завжди дорівнюють одиниці.

Кореляційну матрицю можна розрахувати із застосуванням формули

r= (Y*·X*)^T (Y*·X*),

де (Y*·X*) – матриця, складена зі стовпців стандартизованих змінних Y і X.

Стандартизація – перетворення вихідних даних на безрозмірні величини з середнім значенням 0 і стандартним відхиленням 1. При цьому всі властивості вихідних даних (зміни динаміки, пропорції тощо) зберігаються і для стандартизованих. Стандартизація включає дві процедури – центрування даних (тобто зміщення середини ряду на початок координат) і нормалізацію даних (ділення їх на певну величину), тобто масштабування.

Ми будемо використовувати як масштаб стандартне відхилення ряду. Таким чином, перетворення виконаємо згідно з формулами , , де – середнє значення (дод. 1) змінної Y;  – середнє значення змінної X_j; – стандартні відхилення змінних Y і X_j відповідно.

Стандартні відхилення розраховуємо за формулою (приклад для
змінної Y):

.

Зауваження.

1. Коефіцієнт кореляції може набувати значень  від мінус одиниці до одиниці, тобто . Чим ближче значення r до одиниці за модулем, тим тісніший зв’язок. Від’ємний знак свідчить про зворотний зв’язок (рис. 1, б, г), додатний – про прямий (рис. 1, а, в). Якщо змінні статистично незалежні, коефіцієнт кореляції між ними дорівнює нулю (рис. 1, д – ж).

а                                      б                               в

г                                       д                               е

є                     ж

Рис. 1. Графіки кореляційного зв’язку  для різних випадків вибірок:

а) r=1; б) r= –1;  в) r близький до одиниці;  г) r близький до –1;

д) r додатний, близький до нуля; е) r від’ємний, близький до нуля;

є) r=0;       ж) r=0.

2. Оскільки коефіцієнт кореляції характеризує щільність тільки лінійної залежності, він незастосовний для опису нелінійної залежності. Так, на рис. 1, ж є точна залежність Y=X², хоч . Таким чином, нульовий коефіцієнт кореляції не обов’язково означає незалежність.

3. За своєю природою коефіцієнт кореляції симетричний, тобто кореляція між Х і Y (r_XY) така ж, що й між Y і Х (r_YX).

4. Хоч r є міра лінійної асоціативності між двома змінними, це не обов’язково означає існування якого-небудь причинно-наслідкового зв’язку. Треба уникати так званих хибних кореляцій, тобто не можна пов’язувати явища, між якими відсутні реальні причинно-наслідкові зв'язки.

Частинні коефіцієнти кореляції визначають для випадку, коли доводиться враховувати той факт, що на щільність зв’язку між двома змінними можуть впливати інші змінні (оскільки вони, у свою чергу, можуть мати істотний зв’язок із заданими змінними).

Для того щоб оцінити «чисту» щільність зв’язку між парою змінних, розраховують частинний коефіцієнт кореляції – коефіцієнт кореляційного зв’язку між двома змінними, очищеного від впливу інших змінних.

Розглядуваний коефіцієнт позначають як r_{y,xi|x1,...,хn}, де до вертикальної риски вказують, для яких змінних знаходять частинний коефіцієнт кореляції, а після неї – вплив яких змінних при цьому ігнорують (говорять, що ці змінні є фіксовані).