Вопрос 13 Линейно зависимые и независимые строки матрицы

(1) ОСЛОДУ

матрица непрерывна на  функций (коэффициенты системы). Напомним, что в ЛП столбцов функций (высоты h) столбцы называется ЛЗ, если  нетривиальный набор чисел  (2) . Если тождество (2) выполняется только при , то система  ЛНЗ

Свойства решений ОСЛОДУ

1) (Тривиальность) ОСЛОДУ (1) всегда обладает решением Док-во: очевидно

2) (Линейность) Если  некоторые решения (1), то  чисел  также является решением (1)

Док-во: Введем в ЛП столбцов функций оператор L: . Сейчас доказано, что L является линейным оператором и что любая ЛК решения также является решением.

Замеч. Из 1) и 2) следует, что совокупность всевозможных решений ОСЛОДУ (1) образует ЛП, которое обозначим

3) (О нуле решения) Если решение (1) или (3) с непрерывными коэффициентами

Док-во: Рассмотрим ЗК для (1) : , но эта ЗК также обладает решением

По ТСЕ получаем

5) (О линейной независимости)

ОСЛОДУ (1) (или (3)) с непрерывными коэффициентами обладает n ЛНЗ решениями

Док-во: Рассмотрим набор столбцов : , и рассмотрим n штук ЗК : ОСЛОДУ

 (3)

Опр. Любой базис в  назовем фундаментальной системой решений (ФСР) : ОСЛОДУ (1) (или(3)). Т.е. ФСР это упорядоченный набор из n ЛНЗ решений ОСЛОДУ (и всякое решение может быть передано как ЛК элементов этого набора)

6) (Об общем решении ОСЛОДУ)

 назовем ФСР ОСЛОДУ, произвольные постоянные

Док-во: Поскольку базис, то любое решение является ЛК

 Из свойства линейности любая ЛК  является решением.