Вопрос 29. Неоднородные ЛОДУ ВП. Метод вариации произвольных постоянных.

Теор. (Об общем решении НЛОДУ ВП)

    Док-во: Приведем (1) к виду (2)

Пусть

Получили неоднородное СЛОДУ . Покажем, что  справедливо для (2).

Покажем, что решение. . Пусть какая-нибудь ФСР ОСЛОДУ (2), тогда  любое решение  СЛОДУ (1) может быть представлено в виде  при некоторых значениях

Вопрос 30.

Будем искать ч.н. методом вариации произвольных постоянных

Пусть произвольная ФСР ОЛОДУ. Тогда , где строка элементов ФСР, столбец произвольных постоянных.

Будем искать  в виде , где столбец неизвестных пока функций. Тогда Тогда

, наложим условия . Тогда  и т.д. На каждом шаге полагаем, что Поскольку , тогда . С другой стороны, поскольку y является решением неоднородного уравнения (1), то Подставим (3) и (4) в (2) получим : ( Следовательно, столбец  Запишем в развернутой форме Поскольку , то решение

Рассмотрим ЛП ЛП функций, непрерывные с производной до n-го порядка включительно на . Пусть в это ЛП действ ЛО , т.е.

Далее получаем, что

Тогда . Тогда  является решением ОЛОДУ ВП отвечающим значению

Перед доказательством этой теоремы рассмотрим.

Лемма. (Дифференциальное тождество)

Пусть . Тогда

       Док-во: Рассмотрим формула Лейбница Если (см базу) – верно  утверждение верно #

Пусть теперь характеристическое уравнение имеет корни : кратности кратности ,…, кратности различны, . Тогда рассмотрим сумму h функций (решений ОЛОДУ ВП)

…

Покажем, что эта система ЛНЗ (тогда это и будет ФСР). От противного. Предположим, что она ЛЗ, что нетривиальный набор чисел  . Поскольку набор чисел нетривиальный, то хотя бы один из многочленов . БОО считаем, что  На самом деле, не только он, т.к если бы все остальные многочлены , то мы бы получили тождество : противоречие  есть еще какой-то ненулевой многочлен. Тогда Дифференцируем это тождество k раз  по лемме  Какой-то многочлен из  будет БОО это . По тем же соображениям, что и выше не только он , но и еще по крайней мере один другой. Умножаем обе части на , получим Дифференцируем еще  раз. Далее используем те же соображения дойдем до того, что . С одной стороны из рассуждений, приведенных выше, получаем, что  С другой стороны тождество (10) может быть выполнено только при противоречие. Оно возникло из предположения, что  нетривиальная ЛК построенных функций, которое  Значит, предположение неверно  только тривиальная ЛК построеная система функций ЛНЗ  она представляет собой ФСР (вообще говоря значную). Для уравнения с вещественными коэффициентами из нее можно построить вещественную ФСР по тем же правилам что и в случае простых костей. #