Вопрос 43. Вариационная задача с подвижным концом .

Ставится задача нахождения экстремума функционала  непрерывна с элементами до 2-го порядка включительно

2) , тогда

 является решением уравнения Эйлера для функционала (1) : , удовлетворяющим условиям (2), (3) и кроме того, на правом конце для него выполняется условие транверсальности :

Пример 1. Найти условие трансверсальности для функционала

Решение.  Пусть левый конец экстремали закреплен в точке , а правый конец  может перемещаться по кривой . Тогда получим . Отсюда в силу условия , получаем . Геометрически условие(6) означает, что экстремали  должны пересекать кривую , по которой скользит граничная точка  по углом .

 В самом деле, соотношение (6) можно представить так: положим, что касательная к экстремали в точке  , лежащей на кривой , пересекает ось Ox под углом  а касательная к заданной кривой под углом . Тогда  и левая часть формулы (6) дает , но , поэтому , откуда , откуда , что и требовалось показать.

Пример 2.Найти минимальное расстояние между параболой  и прямой условие трансверсальности приобретает следующий вид : . Теперь используем граничные условия