Вопрос 11 Уравнение n -го порядка. Уравнения, допускающие понижения порядка

А) Простейшее уравнение n -го порядка

, где . Проинтегрировав это уравнение по x

Далее

Через некоторое количество шагов

               Док-во: Докажем (11) методом математической индукции.

БАЗА.  (верно)

ШАГ. Пусть утверждение верно для , т.е. .

Тогда , т.е. формула верна и для  утверждение верно.

Таким образом, простейшее уравнение n-го порядка всегда интегрируемо в квадратурах имеет вид (11) #

Теперь докажем, что  

              Док-во: Применим метод ММИ. БАЗА . Допустим, что решение . Тогда полученный промежуточный интеграл

б) . Если однородное, то аргумент .

В этом случае

БАЗА для верно(см.выше)

ШАГ индукции. Допустим, что утверждение верно для , докажем что оно также верно для верно , то есть утверждение справедливо  можно свести к нормальной системе следующим образом:

Пусть . Тогда частное решение (4) это вектор столбец (или вектор строка

1)

2) Подразумевается, что  является внутренней точкой

Теор.(ТСЕ)

Пусть  внутренняя точка  и в некоторой

выполняется, что

1)  

2) Тогда решение ЗК (5)

Замеч. Если решение ЗК (5) на , а решение ЗК (5) на некотором D, то  на

Линейные нормальные системы.

Рассмотрим (1) Будем считать, что  определены и непрерывны на

Опр. (1) называется линейной нормальной(СЛОДУ) системой (ОДУ 1-го порядка) (сама система имеет порядок n)

Введя обозначение перепишем (1) в виде

Теор.(ТСЕ для СЛОДУ)

Если  то на всем  при любом наборе начальных данных  решение ЗК (3) на всем

Без доказательства