Вопрос 6. Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной

Пусть  определена в . Рассмотрим уравнение

1)

2)

3)  тогда в некоторой , причем дополнительно выполнено условие , причем  непрерывна и  непрерывна в окрестности точки выполняется условие ТСЕ решения ЗК для уравнения 1-го порядка, разрешенного относительно производной

решение ЗК (3), которое является и единственным решением ЗК (1), (2) удовлетворяющее дополнительному условию  необходима для того, чтобы из множества интегральных кривых, проходящий через  выбрать кривую единственную проходящую по направлению

 может иметь несколько решений  

 Рисунок для случая, когда имеется

. Каждая из ЗК        имеет единственное решение

Замеч. Нарушение решение ЗК, проходящего по заданному направлению чаще всего связанно с нарушением 3 свойства ТСЕ, т.е. если . В этом случае ЗК может не иметь решения, а может и иметь, причем возможно неединственное, проходящее по этому направлению

Известно, что уравнение  задает некоторую поверхность в . Эта поверхность может быть параметризована следующим образом  причем для  выполняется . На каждом решении уравнения (6) должно быть выполнено соотношение . Из (7) и (8) получаем , что

а это уравнение для , разрешенное относительно производной

Пусть его общее решение имеет вид : т.е. на всякой интегральной кривой  связаны соотношением (9) при некотором значении С. Тогда общее решение исходного уравнения может быть параметрически задано следующим образом

Частный случай

Если уравнение (6) легко разрешить относительно т.е. представить в виде , то в качестве параметров выбирают по следующей схеме  и интегр его, т.к. р – параметр

Рассмотрим  и решить их, объединить все решения.Поскольку далеко не всегда удается это сделать , чаще применяется метод введения параметра.