Вопрос 34. Неоднородные ЛОДУ ВП с постоянными коэффициентами .

. Тогда

Напомним, что

В случае произвольной  ищем  методом вариации произвольных постоянных. Однако в случае специального вида  удобнее применять метод неопределенных коэффициентов

Теор. (принцип суперпозиции)

Если  является решением уравнения , то  является решением уравнения

     Док-во: #

Пусть  многочлен степени  с определенными коэффициентами, произвольная(комплексная)

В силу принципа суперпозиции рассмотрим поиск  для

Возможны 2 случая :

1) нерезонансный случай

2) резонансный случай

Резонансный случай.

Пусть корень характеристического уравнения кратности k :  определена в

начальные условия

ЗК. Найти интегральную кривую уравнения (1) проходящую через найти решение (1), удовлетворяющее н.у. (2))

Теор. Пусть . Проинтегрируем это тождество от  до    причем  является решением ЗК (1), (2)##

3) (Построение функциональной последовательности) Строим функциональную последовательность следующим образом. Везде считаем, что

4) (Принадлежность П)

Покажем, что при выполняется, что т.е.

##

……

##

5) (Абсолютная и равномерная сходимость функциональной последовательности)

Покажем, что  сходится абсолютно и равномерно на  

##  Очевидно Таким образом, сходимость последовательности  эквивалента сходимости функционального ряда (т.к.
Рассмотрим . Тогда

……

 

Тогда Числовой ряд Сходится по признаку Даламбера  мажорируется сход числовым рядом  сходится абсолютно и равномерно на по правилу Вейерштрассе. сумма ряда.  причем  непрерывна при в случае равномерной сходимости.

Замеч.  в силу теоремы о предельном преходе в неравенствах

6) (Равномерная сходимость )

Покажем, что

## критерий сходимости функциональной последовательности. Рассмотрим ##

7) (Решение интегрального уравнения)

Покажем, что  является решением интегрального уравнения (4)

##  (из (5)) в силу равномерной сходимости Но поскольку интегрируемое уравнение (4) эквивалентно ЗК (1), (2) то  и является решенной ЗК ##

Таким образом доказано, что решение ЗК

Доказательство конструктивное. Указан метод построения решения. (Метод последовательного приближения   #