Вопрос 37. ТСЕ. Доказательство единственности. Элементы вариационного исчисления

Лемма. (Лемма Гронуолла)

Если  непрерывна и неотрицательна на  и удовлетворяет условию , то

        Док-во: рассмотрим , которая также непрерывна и неотрицательна на достигает своей верхней грани на . Предположим, что

  

#

Докажем теперь единственность решения ЗК на (слева доказывается аналогично)

       Док-во: Пусть решения ЗК на . Тогда непрерывно, неотрицательно на  и условие Л в П  удовлетворяет условию Леммы Гронуолла с #

 

Вариант 38.

ГЛАВА. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Основные понятия

Пусть ЛНП ( норма

1) ,причем

2)

3)  )

Напомним, что функционалом называется правило(закон), по которому каждому элементу ЛП ставится в соответствие число.

вещественное ЛП

 считаем областью задания функционала

Замеч. Иногда функционал задан не на всем V, а на некотором его подмножестве . Тогда М считается областью задания функционала.

Основное ЛП, которое мы будем рассматривать, это ЛП функций, непрерывных на  со своими производными до к-го порядка включительно.

Норма в  вводится следующим образом :

В

В или . А в точке  достигает минимума

определенная функция 3х переменных (условия на эту функцию уточним позже)

Опр. Задача нахождения экстремума функционала (2) на множестве непрерывных дифференцируемых функций, удовлетворяющих условию (1), называется простейшей задачей вариационного исчисления или задачей с закрытыми концами.

Было показано, что необходимое условие экстремума дифференцируемого функционала является равенство нулю его вариации. Конкретизируем необходимые условия для данного функционала

Замеч. Поскольку концы кривых закреплены, то для всех дополнительных вариаций выполняется, что

Замеч.

# . Рассмотрим второе слагаемое. . Если на  достигается экстремум, то , т.е. . В силу произвольности , получаем, что  должна удовлетворять уравнению.

Опр. , которое называется уравнением Эйлера.

Поскольку края  закреплены, то на самом деле  должна являться решением краевой задачи, которая состоит из уравнения Эйлера и критических условий

Опр. Она называется краевой задачей Эйлера

Распишем подробно уравнение Эйлера  (таким образом, это уравнение 2-го порядка относительно )

Мы почти доказали следующее утверждение

Теор. (Необходимое условие экстремума функционала с закрытыми концами)

Пусть  реализует экстремум функционала (2) с закрытыми концами, причем :

1)

2)  непрерывна со своими производными до 2-го порядка включительно

Тогда  является решением краевой задачи Эйлера (3). Основанием перехода от  к уравнению Эйлера является Лемма вариационного исчисления

Лемма. (Основная лемма вариационного исчисления)

Пусть . Если  выполнено, что , то  на

       Док-во: (от противного) Допустим, что это не так, т.е. . Поскольку  непрерывна, то . Рассмотрим при  при . Тогда . Получили противоречие(интеграл должен быть равен нулю)  на #

Замеч. Доказанная теорема дает необходимое условие слабого экстремума, но все, что необходимо для слабого экстремума, необходимо и для сильного .Опр. Всякое решение краевой задачи Эйлера называется экстремалью. То, таким образом, если доказано, что экстремум реализуется на дважды дифференцируемой функции, то это обязательно будет экстремаль.

Замеч. Необходимое условие достаточным не является. Поэтому, вообще говоря, не всякая экстремаль данного функционала реализует его экстремум

 

Вопрос 40 Обобщение простейшей задачи вариационного исчисления .

Пусть теперь М – множество функций из  для которого выполняются следующие условия (краевые условия)

фиксированные числа

Рассмотрим на М функционал

 если есть решение этого уравнения, то это константа , которая тоже чаще всего не удовлетворяет краевым условиям

3)  функция. Тогда получим : . По любой кривой  значение интеграла одно и то же, т.е. вариационная задача теряет смысл.

4)    Пусть корни уравнения . Домножим обе части на имеется первый интеграл  Тоже порядок понизился до первого.

 

Вопрос 41. Условный экстремум .

Задача. Найти экстремум функционала (1) с закрытыми концами (2) при наличии дополнительных условий

     заданная функция своих переменных

Эта задача называется задачей нахождения условного экстремума с неголономной связью

Теор. Если пара  реализует экстремум функционала (1) с закрытыми концами (2) при наличии неголономной связи (3) и выполняются условия :

1)

2)  непрерывны со своими частичными производными до 2-го порядка включительно

3)

то  дифференцируемая функция , такая что  является решением краевой задачи Эйлера для функционала  с дополнительными условиями (3), т.е.

Без док-ва.

Рассмотрим так называемую изопериметрическую задачу. Найти экстремум функционала  (имеет заданное значение)

Часто в качестве  берут функционал . Тогда . Таким образом, имеем следующую вариационную задачу : Найти экстремум функционала , т.е . Рассмотрим  и

Из граничных условий :

геодезическая линия . Или :

 т.е  винтовая линия