Вопрос 3. Решение ОДУ 1-го порядка в простейших случаях.

В простейшем случае методика решения ОДУ следующая : предположим, что решение , подставим его в уравнение и получим тождество. Из тождества равносильными преобразованиями получим общее решение. Проверить подстановкой в уравнение.

Уравнения с разделяющимися переменными

 

 Подставляя сюда предполагаемое решение, получаем тождество, которое проинтегрируем по сохраняет знак строго монотонная функция . Проверим, что (3) определяет общее решение. Пусть  

Тогда , т.е. обращают (1) в тождество  (3) общее решение, а (2) – общий интеграл.

Замеч. Если в какой-либо точке , то функция  тоже является решением уравнения (1) и его нужно присоединить к (3)

Опр. Выражения ( M,N- известные функции двух переменных, dx,dy – дифференциалы переменных x, y) называется дифференциальной формой, а уравнения =0 – уравнением в дифференциалах. Его решением называется каждое из решений ОДУ 1-го порядка  .  

Наиболее общий вид уравнения с разделяющимися переменными   Решается аналогичным образом.

Рассмотрим уравнение

(10)

(12) , где M,N – однородные функции одной степени однородности

 

Опр. Уравнения (11) и (12) называется однородными ОДУ

Заменой , где  однородные ОДУ сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными

Док-во: ; (12)

 

 

К однородным сводятся уравнения вида

Опр.(21) называется линейным ОДУ 1-го порядка. Если , то оно называется линейным однородным. В противоположном случае – линейным неоднородным.

Метод вариации произвольных постоянных

1. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение. Оно всегда является уравнением с разделяющимися переменными : . Тогда так как является решением этого уравнения)  общее решение однородного уравнения можно записать в виде  

(где

2.  Для решения неоднородного уравнения сделаем замену переменных. где  Тогда в (21) получим  

Тогда

Теор.(Об общем решении неоднородного линейного ОДУ 1-го порядка)

Уравнение Бернулли

(31) . Полагаем . Тогда

, где

(41) называется уравнением Риккати

1841 г. Лиувиль доказал, что оно не интегрируемо в квадратурах в общем случае. Но если каким-либо образом известно частное решение этого уравнения, то общее решение можно найти путем сведения его к уравнению Бернулли заменой .

Разность любых двух частных решений уравнения Риккати является решением уравнения Бернулли.

      Док-во: Пусть  

. Соответственно общим интегралом УПД будет соотношение а решением ЗК (62) неявно задается соотношением

Интегрирующий множитель

Пусть  не является УПД

Опр. Если существует дифференцируемая функция для  становится УПД, называется интегрирующий множителем уравнения (*)

Каким условием должна удовлетворять

В одной области

  или , т.е.  должна удовлетворять уравнению в частных производных . В общем случае это уравнение решить еще труднее чем исходное (*). Известно, что при непрерывном дифференцировании  не обращ в ноль одновременно, инт. множитель уравнения (*) существует.

Их существует  много(инт. множество), а для того, чтобы решить уравнение, достаточно одной такой функции. Покажем, при каких условиях уравнение (*) имеет интегрирующий множитель специального вида, например

. Обозначение: . Тогда  подставим в (**), получим :  

(***)  ОДУ

Рассмотрим некоторые частные случаи, когда интегрирующий множитель легко находится.

Пусть  не зависит от y, т.е. . Тогда инт. мн-ль находится из ур-я:

Пусть  не зависит от x, т.е. . Тогда инт. мн-ль находится из ур-я:

Пусть P(x,y) и Q(x,y) – однор. ф-ии порядка . Введем , где