Вопрос 8 Особые решения уравнения, не разрешенных относительно производных

Опр. Огибающей S семейство кривых называется линия, которая в каждой своей точке касается некоторой кривой(прямой) этого семейства, не совпадая с S в сколь угодно малой окрестности этой точки.

Рассмотрим уравнение Клеро

Решим его:

По крайней мере решение и решение, т.е. в случае 3) происходит нарушение единственности решения ЗК

Опр. Множество точек, в которых нарушается единственность решения ЗК называется особым множеством. Если это особое множество представляет собой интегр. кривую исходного ДУ, не разрешенного относительно производных, то говорят об особом решении. В частности, огибающая уравнение Клеро является особым решением этого уравнения.

Особые решения уравнения, не разрешенных относительно производных.

Рассмотрим (1)

Всякая кривая, являющаяся решением этой системы называется Р-дискриминантной кривой.

В частности, особое решение (если существует) является Р-дискриминантной кривой. Однако з-дискриминантная кривая не обязана является особым решением.

Вообще р-дискриминантная кривая может быть:

Огибание

Точки заострения

Точки прикосновения

Ассимптотич.

Из всех этих случаев только огибающая является особым решением

Таким образом особое решение всегда непрерывно дифференцируема  ищем по схеме:

1) Отыскиваем всевозможные з-дискриминантные кривые (они являются решением системы (2))

2) Проверяем, являютcя ли эти кривые интегральными кривыми уравнения  

Поскольку

С другой стороны

Таким образом, всевозможные решения уравнения Клеро

Как соотносятся эти решения? Можно показать, что кривая  являются огибающей семейство прямых , если  не является линейной функцией.