Вопрос 16. Матрица решений и определитель Вронского. Свойства МР и ОВ

(1) , то матрица решений формально тоже удовлетворяет ОСЛОДУ (1), т.е.  Но эта ЗК обладает тривиальным решением  по ТСЕ  Т.о.  то нетривиальный набор   на

Замеч. Если  не является решениями ОСЛОДУ (1) с непрерывными коэффициентами то это свойство не обязано выполнятся

3) Пусть ФМР для ОСЛОДУ (1) , то где  столбец произвольных постоянных

Док-во:

4) Если Ф(t) – ФМР ОСЛОДУ (1), то с непрерывными коэффициентами ЗК , то , где след матрицы A(t)

Док-во: Докажем для n=2. Пусть ФСР ОСЛОДУ

Каждый из столбцов  удовлетворяет этой ОСЛОДУ. Раскроем теперь все определители по последнему столбцу, получим :

 непрерывные на  коэффициенты правые части

Рассмотрим соответствующую ОСЛОДУ   . Покажем теперь, что любое решение СЛОДУ (1) входит в (3). Пусть  произвольное решение (1). Рассмотрим разность . Покажем, что эта разность удовлетворяет (2). , , . Тогда   

Поскольку , то . Если нас интересует нетривиальные решения, то  должно быть нетривиальное решение ОСЛАУ (2)  квадр ОСЛАУ (2) имеет нетривиальные решения

Опр. Уравнение  называется характеристическим уравнением.

Известно, что в поле  оно имеет n корней с учетом их кратности.

Замеч. Фактически  являются соответственно СЗ и комп СВ ЛО, имеющего в некотором базисе матрицу А.

Получаем, что  является нетривиальным решением ОСЛООДУ (1)  является корнем характеристического уравнения, а соответственно СВ.

Построение ФСР ОСЛОДУ (1)

Все корни характеристического уравнения вещественны и различны. Т.е. имеем набор решений . Поскольку отвечают различным С, то они ЛНЗ. Покажем, что  образуют ФСР ОСЛОДУ (1), т.е. является ЛНЗ на    т.к. в столбцах det записаны координаты ЛНЗ векторов . ЛНЗ на всей это ФСР ОСЛОДУ (1)

Замеч. В рассматриваемом случае предполагалось, что А – вещественная матрица и была построена соответствующими вещ ФСР

Если А – комплексная матрица и все корни характеристического уравнения различны, то ФСР будет комплекснозначной. Тогда всевозможные ЛК элементов этой ФСР с комплексными коэффициентами дадут всевозможные комплексные решения ОСЛОДУ (1)

 

Вопрос 21.

(1) постоянная матрица, т.е.

Будем искать решение это системы в виде  

Подставим в (1) получим :

Будем искать ее решение в виде . Где Т – построенная невырожденная матрица. Тогда

Допустим, что матрица А диагонализуема (т.е. линейный оператор, которому она отвечает в некотором базисе имеет диагонализуемую матрицу. Это возможно  базис из СВ этого ЛО  у всех его СЗ АК=ГК. В этом случае Т представляет собой матрицу, в столбцах которой записаны координаты собственных векторов ) Предположим, что  базис из СВ. Тогда  Тогда получим, что   

 Таким образом независимо от того являются ли корни характеристического уравнения простыми или нет, в случае, когда  базис из СВ, отвечающий этим СЗ, ФСР имеет один и тот же вид, а именно с той лишь разницей, что в случае кратных корней некоторые  могут совпадать. 

В случае когда хотя бы для одного  АК > ГК (ради определенности пусть АК =k, ГК=m m<k) можно показать, что  k ЛНЗ решений, отвечающих такому , который имеет вид столбцы подлежащие определению : Как их отыскать ? Подставим (20) в получим тождество Далее приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях t получим :

…………..

Теор.  ЛНЗ решений вида , отвечающих этому СЗ(без док-ва)

Подставим в ОСЛОДУ, получим, что

, т.о.

 Эта система обладает расширенной матрицей  и совместна при всех значениях . Из условия совместимости получаем ограничения на , т.е. связь между ними, т.е. будет зависеть  от m новых констант будет зависеть от некоторых старых (это же касается   

Постепенно, спускаясь вниз, будем на каждом шаге получать m новых констант и дополнительных ограничений на старые константы. В конце останется k констант. Собирая коэффициенты при них мы получим k элементов ФСР отвечающих данному .