Статистические характеристики. Флуктуационные помехи.

Флуктуационная помеха – множество случайных последовательностей импульсов, которые накладываются друг на друга. Флуктуационная (Гауссовская) помеха характеризуется нормальным законом распределения вероятностей амплитудных значений.

Это выражение справедливо для одномерной плотности. -плотность – плотность вероятности.

                                                               

 

- мощность флуктуационной помехи

- среднее значение или постоянная составляющая;

- вероятность того, что амплитудное значение флуктуационной помехи попадет в интервал ;

 – вероятность того, что все значения флуктуационной помехи

будут лежать левее ;

 

 - этот интеграл вычисляется через табулированную функцию Лапласа ,

Часто возникает задача вычисления попадания флуктуационной помехи в интервал от  до , вероятность попадания которой равна:

Существует несколько видов функции Лапласа: которая задается от -  до  и от  до .

Т.к. нормальный закон распределения известен, достаточно знать параметры: среднее значение (постоянная составляющая) и среднеквадратическое отклонение (мощность помехи)

Характеристический спектр флуктуационной помехи должен быть нормально распределен.

 

 – мощность помехи на 1 Гц частоты.

Если спектр задан на бесконечном интервале, то помеха называется белым шумом, т.е. это широкополосный шум.

Если ширина шума , то можно принять помеху за белый шум.

Интервал корреляции , если это идеальный белый шум, т.е. все отдельные значения этой функции независимы друг от друга, т.е. некоррелированы, и такую функцию можно назвать функцией Дирака.

Если , то помеха называется окрашенным шумом.

Степень случайности значений функции помехи можно определить через интервал корреляции – это интервал, на который отстают две помехи. Чем больше , тем процесс более случайный.

ФУНКЦИЯ КОРЕЛЛЯЦИИ

Одной из важнейших характеристик случайного процесса является функция корреляции (иначе - функция автокорреляции), которая учитывает статистическую зависимость между значениями случайного процесса в различные моменты времени. ФК определяется как математическое ожидание от произведения значений процесса в два различные момента времени

 

           (1)

где  - двумерная плотность распределения

                            вероятностей процесса .

Анализируя данное выражение, замечаем, что величина интеграла будет больше в тех случаях, когда с увеличением (уменьшением) значений процесса в момент времени  будут также увеличиваться (уменьшаться) значения процесса в момент времени . Следовательно, корреляционная функция определяет степень линейной зависимости между значениями случайного процесса в различные моменты времени. Чем быстрее изменяется случайный процесс, тем меньшее значение будет иметь функция корреляции при фиксированных моментах времени  и .

Перечислим важнейшие свойства функции автокорреляции (корреляции) для стационарных случайных процессов с нулевым математическим ожиданием:

1. В пределе, при , значения реализации случайного процесса становятся статистически независимыми, следовательно предельное значение функции корреляции .

2. При , выражение (5) превращается в формулу для вычисления мощности (иначе - дисперсии) реализации случайного процесса, т.е.

 

                           

 

3. Функция корреляции является четной функцией, т.е.

 

                                                                   

что следует из свойства инвариантности к направлению временного сдвига плотности распределения стационарного случайного процесса

4. Корреляционная функция всегда максимальна при .