Тригонометрический ряд Фурье.

Было установлено что любое сложное колебание можно представить суммой синусоид и косинусоид гармонически связанных друг с другом:

где -круговая частота самого низкочастотного колебания которая связана с периодом этого колебания:

-первая гармоника.

Все остальные гармоники пропорциональны первой .

То тогда коэффициенты этого ряда рассчитываются следующим образом:

   Подобного рода колебания  представляют собой ограниченный класс. Кроме того, функция  является периодической.

 теперь периодическая функция равная :

В 1807 году Фурье доказал что любую функцию  (даже такую которая имеет разрывы) можно представить в виде тригонометрического ряда, а коэффициенты рассчитываются также по формулам , интервалы интегрирования могут быть конечны.

Для анализа этот конечный интервал разбивают на полуинтервалы . Для периодических сигналов как видно из формулы (1) число гармоник равно бесконечности. Однако на практике число гармонических колебаний может быть ограничено. Дело в том что амплитуды -тых гармоник убывают с ростом . Среднеквадратическая погрешность:

Аналитический сигнал.

Реальные сигналы и помехи описываются действительной функцией времени, т.е. в любой момент времени характеризуются вещественной величиной. Однако, при анализе иногда удобно представлять их в комплексной форме. Например, реальный сигнал рассматривается как комплексная функция времени

где  и - огибающая и фаза сигнала. Реальный действительный сигнал  в этом случае определяется выражением:

Представленные таким образом с целью анализа сигналы и помехи называются «аналитическими».

Сигнал  называется аналитическим, если его вещественные и мнимые части  и  образуют пару преобразований Гильберта:

Функция называется сопряженной с функцией  по Гильберту. При таком выборе  и  огибающая и фаза сигнала определяются однозначно:
 - огибающая   

 - фаза