Правила дифференцирования функций

Цель:

        - сформировать навыки нахождения производных функций по правилам дифференцирования суммы и разности, произведения и частного;

        - развить умение вычисления значения производной при заданном значении аргумента;

        - закрепить знания о способах преобразования степенных выражений;

   Материально – техническое обеспечение: методические указания по выполнению работы, стенды «Правила дифференцирования»;

Время выполнения: 2 академических часа;

Ход занятия:

1. Изучить краткие теоретические сведения;

2. Выполнить задания;

3. Сделать вывод по работе;

4. Подготовить защиту работы по контрольным вопросам.

   Краткие теоретические сведения:

Производной функции y= f( x) в точке х₀  называется предел отношения приращения функции Δ f к приращению аргумента Δх, когда последнее стремится к нулю:

y′ = f′( x) = = ;

Функция, имеющая конечную производную, называется дифференцируемой.

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Если y= f( x) и u=φ( x) – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции y= f (φ( x)) существует и равна произведению производной функции y по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента u по независимой переменной x:

;

Аналогичная формула верна и для сложных функций, которые задаются с помощью цепочки, содержащей три звена и более.

Таблица формул  дифференцирования:

1.                                                  7.

2. ,                                      8.

3. .                             9. ′.            

4. .                             10.                                   

5. .                               11. = ;                                                                                                                                             

6. .                                                                                                                                                                    

Здесь u и v - дифференцируемые функции от x, а C – постоянная величина.

Рассмотрим технику вычисления производных функций на примерах.

Пример 1. Найти производную функции при данном значении аргумента:

Решение:

1. Применив последовательно правила дифференцирования суммы и степени: имеем:    

Пример 2. Найти производную функции при данном значении аргумента:

  Решение:

Применив правило дифференцирования произведения: , имеем:

Пример 3. Найти производную функции при данном значении аргумента:

 Решение:

Применив правило дифференцирования частного:  имеем:

Задание для самостоятельного выполнения:

Найти производные функций при данном значении аргумента.

 

Вариант 1.

1.            2.

3. .                   

Вариант 2.

1.           2.

3. .             

Вариант 3.

1.        2.

3. .               

Вариант 4.

1.        2.

3. .                

Вариант 5.

1.             2.

3.                    

Вариант 6.

1.         2.

3. .                    

Вариант 7.

1.              2.

3. .                   

Вариант 8.

1.           2.

3. .                

Вариант 9.

1.          2.

3. .             

Вариант 10.

1.               2.

3. .                    

Вариант 11.

1.                2.

3. .                    

Вариант 12.

1.                2.

3. .                       

Вариант 13.

1.              2.

3. .                        

Вариант 14.

1.            2.

3. .                      

Вариант 15.

1.                 2.

3. .                         

Вопросы для самоконтроля:

1. Правило дифференцирования суммы и разности двух функций.

2. Сформулируйте правило вычисления производной произведения.

3. Запишите формулу вычисления производной частного двух функций.

4. Как найти производную функции при данном значении аргумента?

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 11