Решение системы 3 линейных уравнений

 С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

   Цель:

        - развить умение преобразования матриц;

        - сформировать навыки решения системы 3 линейных уравнений с тремя переменными методами  Крамера и  Гаусса;

       - закрепить знания о свойствах определителей  2 и 3 порядка;

   Материально – техническое обеспечение: методические указания по выполнению работы;

Время выполнения: 2 академических часа;

Ход занятия:

1. Изучить краткие теоретические сведения;

2. Выполнить задания;

3. Сделать вывод по работе;

4. Подготовить защиту работы по контрольным вопросам.

 Краткие теоретические сведения:

  Матрицей называется квадратная или прямоугольная таблица, заполненная числами. Эти числа называются элементами матрицы.

Элементы матрицы, расположенные по горизонталям, образуют строки матрицы. Элементы матрицы, расположенные по вертикалям, образуют столбцы матрицы.

Строки нумеруются слева направо, начиная с номера 1, столбцы нумеруются сверху вниз, начиная с номера 1.

  Матрица A , имеющая m строк  и  n столбцов, называется матрицей размера m на n и обозначается А _m∙n . Элемент a_{i j} матрицы A = {a_ij} стоит на пересечении i - ой строки и j- го столбца.

А =

Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, ведущая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний угол. Побочной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, ведущая из левого нижнего угла матрицы в правый верхний угол.

  Две матрицы считаются равными, если они имеют одинаковую размерность и их соответствующие элементы равны.

  Каждую матрицу можно умножить на любое число, причем, если k – число, то k ∙ A ={k ∙ a_ij }.  

Матрицы одного и того же размера A_{m ∙n}  и  B_{m∙ n}  можно складывать, причем  A_{m ∙n}  + B_{m∙ n} = {a_ij  + b_{i j}}.

  Операция сложения матриц обладает свойствами A + B = B + A,  A + (B + C) = (A + B) + C .

  Матрицы  A_{m ∙n}  и  B _{n ∙ k}  можно перемножать, причем A_{m ∙n}  ∙ B _{n ∙ k}  = C _m∙k , где

c_ij= .

Операция умножения матриц обладает свойствами A∙(B∙C) = (A∙B)∙C , A∙(B+C) = A∙B+ A∙C.

В общем случае  A∙ B ≠ B ∙A.

Пример 1. Выполнив действия над матрицами, найдите матрицу С= 2A-B, где , .

Решение.

Вычислим матрицу 2A размерности 3x3:

  

Вычислим матрицу С = 2A-В размерности 3x3:

C = 2 A - B ,

  Свойства матриц и определителей широко применяют при решении системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:

,

где х₁, х₂, х₃ – переменные, а₁₁, а₁₂,…, а₃₃ - числовые коэффициенты. Следует помнить, что при решении системы возможен один из трёх вариантов ответа:

1) система имеет единственное решение – (х₁; х₂; х₃);

2) система имеет бесконечно много решений (не определена);

3) система не имеет решений (несовместна).

Рассмотрим основные методы решения системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.   

    а). Метод Крамера позволяет найти единственное решение системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными, опираясь на умение вычислять определители третьего порядка,

 

следующим образом:

.

Пример 2. Найти решение системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными по формулам  Крамера:

Решение. Находим определители третьего порядка, используя правило Сарруса или разложение по элементам первой строки:

Находим решение системы по формулам:  

 

Ответ: (- 152; 270; -254)

   б). Метод Гаусса - классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований (сложение, вычитание уравнений, умножение на коэффициенты) система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которого последовательно, начиная с последних по номеру переменных, находятся все остальные переменные.

Пример 3.

Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:

Во – первых, обнулим коэффициенты при х₁ во втором и третьем уравнениях. Для этого вычтем почленно из второго уравнения системы первое уравнение, умноженное на 2, и из третьего уравнения – первое, умноженное на 3. Имеем:

Во – вторых, обнулим коэффициент при х₂ в третьем уравнении. Для этого вычтем из третьего уравнения второе, умноженное на 2. Получим легко решаемую систему треугольного вида:

В самом деле, из третьего уравнения находим значение х₃ =3, подставляем его во второе уравнение и находим значение х₂ = ⅔. Решаем первое уравнение и находим х₁ =1.

Таким образом, исходная система решена.

Ответ: (1; ⅔; 3).

Задания для самостоятельного выполнения:

I.  Найти матрицу преобразования.

II. Решить систему методом Крамера.

III. Решить систему методом Гаусса.

                                                 

Вариант 1.

1. C = A +3 B, если , . 2.  

Вариант 2.

1. C =2 A - B,если , .     2.

Вариант 3.

1. C = 3 A + B, если , .   2.

Вариант 4.

1. C = A - 4 B, если , .   2.

Вариант 5.

1. C = 4 A - B , если , .   2.

Вариант 6.

1. C = A +2 B, если , .   2.

Вариант 7.

1. C =2 A + B, если , .   2.  

Вариант 8.

1. C =3 A - B, если , .  2.  

Вариант 9.

1. C = A - 3 B, если , .  2.  

Вариант 10.

1. C = A - 2 B, если , .   2.  

Вариант 11.

1. C = A +4 B, если , .   2.  

Вариант 12.

1. C =4 A + B, если , .  2.  

Вариант 13.

1. C = A +3 B, если , . 2.  

Вариант 14.

1. C =2 A - B, если , . 2.  

Вариант 15.

1. C =3 A + B, если , . 2.  

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется матрицей?

2. Какие действия производятся над матрицами?

3. Назовите методы решения систем линейных уравнений.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 7