Інтерполяція (екстраполювання) таблиць з нерівномірним кроком

 

Вибираються пари табличних значень аргумент (тов- щина стінки деталі або діаметр заготовки Ri) – функція (норма часу виконання операції за Ti), найближчих до ар- гумента R, значення якого не збігається з табличним і для якого слід визначити точне значення функції TR (3 – 7 пар). Пари табличних значень записуються послідовно у поряд- ку їх знаходження в елементах таблиці;

Виконується інтерполяція (екстраполювання) з використанням інтерполяційного багаточлена Лагранжа для функцій, заданих дискретно, із змінним кроком аргументу

 

Приклад виконання роботи

 

Інтерполяція (екстраполяція)  таблиць з постійним кроком

Визначити числове значення норми часу виконання нагріву сталевої деталі в полум'яній печі, якщо встановлені такі укрупнені норми (табл. 1).

 

Таблиця 1 – Укрупнені норми часу

Товщина або d виробу, мм	50	100	150	200
Норма часу перебування ви- робу в печі, хв.	40	80	120	160

 

Для виконання розрахунків використовуємо програму обчислень, складену стосовно пакета MATHCAD. Початкові дані в програмі введені у вигляді невідомої Xm (діаметр заготовки для якої визначається час нагріву) і двох одновимірних масивів Мi і Ti, за допомогою яких задаються укрупнені нормативи.

 

 

Інтерполяція (екстраполяція) таблиць зі змінним кроком

Визначити числове значення норми часу нагріву сталевої заготівки в соляній ванні, якщо встановлені такі укрупнені норми часу (табл. 2).

 

Таблиця 2 – Укрупнені норми часу

 

Діаметр виробу, мм	25	50	100	200
Норма часу, хв.	7	17	33	65

 

Для виконання розрахунків використовуємо програму обчислень, складену стосовно пакета MATHCAD. Початкові дані в програмі введені у вигляді невідомої Xr (діаметр заготівки, для якої визначається норма часу) і двох одновимірних масивів Ri і Ti, за допомогою яких задаються укрупнені нормативи.

Вимоги до змісту звіту

 

Звіт повинен містити:

1 Найменування і мету роботи.

2 Результати проміжних розрахунків.

3 Висновки.

 

Варіанти завдань

Варіанти завдання для виконання першої частини роботи (інтерполяція/екстраполяція таблиць з рівномірним кроком) вибираються з таблиць 3 і 4, для другої частини (інтерполяція-екстраполяція таблиць з нерівномірним кроком) – з таблиць 5 і 6.

 

Таблиця 3 – Діаметр заготовки, мм

 

Варіанти	Підваріанти
	A	B	C	D	E	F
1	61	181	88	195	86	104
2	130	176	66	262	55	199
3	167	236	132	65	328	97
4	57	174	103	171	134	79
5	73	169	76	341	90	67

 

Таблиця 4 – Укрупнені норми часу

 

d, мм	50	100	150	200	250	300	350	400	450
Норма часу, хв..	40	80	120	160	200	240	280	320	360

 

Таблиця 5 – Діаметр сталевої заготовки, мм

 

Варіанти	Підваріанти
	A	B	C	D	E	F
1	8	16	26	9	36	31
2	35	12	24	29	14	37
3	22	33	4	5	27	2
4	17	7	18	20	30	13
5	23	32	19	25	12	34

 

Таблиця 6 – Укрупнені норми часу, хв

Діаметр сталевої заготовки, мм	25	50	100	200	300	450	500
Норма часу, хв	7	17	33	65	127	358	490

Практикум № 12. ОПТИМІЗАЦІЯ ТЕХНОЛОГІЧНОГО ОСНАЩЕННЯ ТЕРМІЧНИХ ЦЕХІВ МЕТОДОМ ПАРАМЕТРИЧНОГО ПРОГРАМУВАННЯ

 

Мета роботи - вивчення методики параметричного програмування стосовно оптимізації засобів технологічного оснащення термічних цехів.

 

Загальні положення

Метод параметричного програмування вигідно відрізняється від інших методів математичного програмування можливістю варіювати в широких межах параметрами функції, що оптимізується, що особливо важливо при проведенні проектних робіт, коли багато характеристик новостворюваних засобів технологічного оснащення можуть бути визначені приблизно і в досить широких межах.

Завдання параметричного програмування у загальному вигляді формулюється таким чином: для всіх значень параметра q £ L £ s , де q, s - довільні дійсні числа, знайти такі значення X 1 , X 2 ...X n , які обертають в мінімум лінійну цільову функцію

A = C1 * X 1  + C2 * X 2  + ... + C i  * X i  + ...C n * X n

за умов

 

P11 * X 1  + P12  * X 2  + ...P1i  * X i  + ...P1n  * X n  = a1  + L * b1 ; P21 * X 1 + P22 * X 2  + ...P2i  * X i  + ...P2 n * X n  = a2  + L * b2 ; P j1 * X 1 + P j 2 * X 2  + ...P ji * X i  + ...P jn * X n  = a j  + L * b j ; P t1 * X 1 + P t 2 * X 2  + ...P ti * X i  + ...P tn * X n  = a t  + L * b t ; X 1  ³ 0, X 2  ³ 0,....X i  ³ 0,....X n  ³ 0.

Методика виконання роботи

Завдання параметричного програмування вирішується у такій послідовності:

- складається початкова симплекс - таблиця (за правилами лінійного програмування) при конкретному значенні параметра L (як правило, береться L = q);

- початкова симплекс - таблиця доповнюється двома стовбцями для коефіцієнтів аi, bi так, як показано у таблиці 1;

 

Таблиця 1 – Початкова симплекс - таблиця

N

Б

С

П

С1

С2

Сi

Сn

Сn-1

Сn+k

Сn+k+r

а

B

X1

X2

Xi

Xn

Xn-1

Xn+k

Xn+k+r

1

Xn-1

0

В1

Р11

Р12

Р1i

Р1n

Р1n-1

Р1n+k

Р1n+k+r

a1

b1

2

Xn+2

0

В2

Р21

Р22

Р2i

Р2n

Р2n+1

Р2n+k

Р2n+k+r

a2

b2

j

Xn-j

0

Вj

Рj1

Рj2

Рji

Рjn

Рjn+1

Рjn+k

Рjn+k+r

аj

bj

t

Xn-t

0

Вt

Рt1

Рt2

Рti

Рtn

Рtn-1

Рtn-k

Рtn+k+r

аt

bt

t+1 (L=q)

A’0

-С1

-С2

-Сi

-Сn

-Cn-1

-Сn+k

-Сn+k+r

a’1

b’1

t+2 (L=q)

W0

W1

W2

Wi

Wn

0

0

0

аw

bw

 

- отримана таблиця перетворюється за правилами лінійного програмування (симплекс - методом) до отримання оптимального плану. При цьому останні два стовпці таблиці перераховують за загальним правилом:

1) у випадку, якщо оптимальний план не може бути отриманий, то робиться висновок про необмеженість цільової функції на даній безлічі планів і розв’язання задачі припиняється.

2) якщо оптимальний план досягнутий, про що свідчить відсутність додатних елементів в (t+1)-му рядку, то аналізується діапазон можливих значень L, для яких отриманий план залишається оптимальним;

3) якщо всі елементи стовпця b в останній із таблиць невід’ємні, то отриманий план буде оптимальний для всіх

значень L від Lmin  = q до Lmax  = s .

4) якщо у стовпці b є невід’ємні елементи, то прово-

дяться додаткові ітерації. При цьому як розв’язуючий ря- док вибирається рядок, що містить найбільший за абсолю- тною величиною невід’ємний елемент, що стоїть в стовбці b. Розв’язуючий стовпець визначається за найменшим за абсолютною величиною відношенням елементів (t+1)-го рядка до негативних елементів розв’язуючого рядка. Решта всіх розрахунків виконується за алоритмом звичайного симплекс - методу.

Діапазон можливих значень L, для яких отриманий на останній ітерації план залишатиметься оптимальним, лежить в межах від

L

 L'min до L'max, де береться  рівним L'max, отриманий на передостанній ітерації, а

L

 L'max дорівнює останньому розрахунковому значенню Lmax . Величина Lmax на кожній з ітерацій визначається з формули:

 

 

Ітераційний процес припиняється і після того, як буде досліджений весь діапазон q £ L £ s , а значення L'min і L'max не будуть  визначені  (оптимальне  рішення  не  отримане,проте значення Lmaxпісля чергової ітерації перевищують верхнє граничне значення s) або в стовбці b ще є невід’ємні елементи, а у розв’язуючому рядку невід’ємних елементів немає.

Приклад виконання роботи

Типове завдання оптимізації технологічної системи на базі методу параметричного програмування може бути сформульоване таким чином. Проектується технологічна система, в яку потрібно включити термічні печі, допоміжний інструмент, прилади або інші засоби технологічного оснащення декількох видів, частина яких є нормалізованою і їх характеристики відомі. Останні ж проектуються вперше і за ними відомі тільки вимоги, що ставляться технологами і конструкторами, а також зразкова вартість виготовлення.  В цих умовах потрібно розробити спосіб технологічного оснащення термічного цеху так, щоб сумарна вартість складових технологічна системи компонентів (термічних печей) була мінімальною.

Приклад використання типового завдання для умов оптимізації печей, наведеного в таблиці 2, подається нижче.

 

Характеристика печі Нормалізо- вана піч Проектовані печі Обмеження на систему Печі А Б Витрати на експлу- атацію грн за добу     12.5     16     12 Ліміт витрат на експлуатацію 120 -150 грн за добу     Енергоємність, кВт     135     105     110 Ліміт енергії за групою печей 1000-1300 кВт Площа, яку займає одна піч, м2   10   5   10 Загальна площа 100-150 м2 Продуктивність, кг/год.   25   38   30 Виробнича програма 230-250 кг   Собівартість виго- товлення, грн   3100   4900   3800 Мінімальні витрати на виготовлення

Таблиця 2 – Параметри печей

Запишемо завдання у формулах лінійного програмування:

 

A = 3100 * X 1 + 4900 * X 2  + 3800 * X 3 ;

12,5 * X 1  + 16 * X 2  + 12 * X 3  £ (120 - 150);

135 * X 1  + 105 * X 2  + 110 * X 3  £ (1000 - 1300);

10 X 1  + 5 * X 2  + 10 X 3  £ (100 - 150);

25 * X 1  + 38 * X 2  + 30 * X 3  £ (230 - 250);

X 1  ³ 0, X 2  ³ 0, X 3  ³ 0, 200 £ L £ 300

Задамося граничними значеннями q і s (беремо такими, що дорівнюють найменшим граничним значенням q = 100, s = 150) і після нескладних перетворень, пов'язаних з обчисленням коефіцієнтів:

 

 

де Bmax, Bmin – граничні значення обмежень, і приведенням обмежень, нерівностей до обмежень - рівностей, складемо канонічний запис завдання  параметричної оптимізації:

 

A = 3100* X1 + 4900* X2 +3800* X3 + 0* X4 +0* X5 +0* X6 +0* X7 + M * X8;

12,5*X1 +16*X2 +12*X3 +1*X4 +0*X5 +0*X6 +0*X7 +0*X8 = 60+0,6*L;

135*X1 +105*X2 +110*X3 +0*X4 +1*X5 +0*X6 +0*X7 +0*X8 = 400+6*L;

10* X1 +5* X 2 +10* X3 + 0* X 4 + 0* X5 +1* X6 + 0* X7 + 0* X8  = 0 +1*L;

25*X1 +38*X2 +30*X3 +0*X4 +0*X5 +0*X6 -1*X7 +1*X8 =190+0,4*L;

X1 ³ 0, X 2 ³ 0, X3 ³ 0, X 4  > 0, X5  > 0, X6  > 0, X 7  > 0, X8  > 0, 10£ L  £15

 

Процес рішення починається з початкової симплекс-таблиці (таблиця 3). Оптимізація здійснюється в три ітерації (таблиці 4, 5, 6). Ознакою, що свідчить про досягнення оптимального плану, є відсутність додатних елементів в t+1-му рядку.

 

Таблиця 3 - Початкова симплекс – таблиця

 

N	Б	С	П	3100	4900	3800	0	0	0	0	М	а	b
				X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
1	X4	0	120	12.5	16	16.5	1	0	0	0	0	60	0,6
2	X5	0	1000	135	105	110	0	1	0	0	0	400	6
3	X6	0	10	1	0.5	1	0	0	1	0	0	0	6
4	X8	М	230	25	38	30	0	0	0	-1	1	190	0,4
t+1			0	-3100	-4900	-3800	0	0	0	0	М	0	0
t+2			230	25	38	30	0	0	0	-1	1	190	0,4

 

Таблиця 4 - Перша ітерація

 

N	Б	С	П	3100	4900	3800	0	0	0	0	М	а	b
				X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8
1	X4	0	23,16	1,97	0	3,87	1	0	0	0,42	-0,42	-20	0,43
2	X5	0	364,47	65,92	0	27,1	0	1	0	2,76	-2,76	-125	4,89
3	X6	0	69,74	6,71	0	6,05	0	0	1	0,13	-0,13	-25	0,95
4	X2	4900	6,05	0,66	1	0,79	0	0	0	-0,03	0,03	5	0,01
t+1			29657,9	123,7	0	68,42	0	0	0	-129	М	24500	51,6
t+2			0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

 

Таблиця 5 - Друга ітерація

 

N	Б	З	П	3100	4900	3800	0	0	0	0	а	b
				X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7
1	X4	0	12,25	0	0	3,06	1	-0,03	0	0,34	-16,26	0,29
2	X1	3100	5,53	1	0	0,41	0	0,02	0	0,04	-1,9	0,07
3	X6	0	32,63	0	0	3,29	0	-0,10	1	-0,15	-12,28	0,45
4	X2	4900	2,42	0	1	0,52	0	-0,01	0	-0,05	6,25	-0,04
t+1			28974	0	0	17,6	0	-1,88	0	-134,1	24734,5	42,4

 

 

Таблиця 6 - Третя ітерація

 

N	Б	З	П	3100	4900	3800	0	0	0	0	а	b
				X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7
1	X3	3800	4,01	0	0	1	-0,33	-0,01	0	0,11	-5,32	0,09
2	X1	3100	3,88	1	0	0	-0,13	0,02	0	0	0,29	0,04
3	X6	0	19,44	0	0	0	-1,08	-0,07	1	-0,51	5,24	0,14
4	X2	4900	0,34	0	1	0	-0,17	0	0	-0,11	9,01	-0,09
t+1			28903,7	0	0	0	-5,75	-1,7	0	-136,1	24827,9	40,8

 

У стовпці b є від’ємні елементи, і, отже, отриманий план не буде оптимальний у всьому діапазоні

q £ L £ s . Беремо як розв’язуючий рядок, що містить у стовпці b невід’ємний елемент, і, як розв’язуючий стовбець що містить найменше за абсолютною величиною відношення елемента (t+1)-го рядка до невід’ємного елемента розв’язуючого рядка (-5,75/-0,17). Виконуємо ще одну ітерацію (табл. 7)

 

Таблиця 7 - Четверта ітерація

N	Б	З	П	3100	4900	3800	0	0	0	0	а	b
				X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7
1	X3	3800	3,36	0	-1,93	1	0	0	0	0,33	-22,68	0,26
2	X1	3100	3,62	1	-0,79	0	0	0,02	0	0,08	-6,58	0,1
3	X6	0	17,31	0	-6,35	0	0	-0,04	1	0,19	-51,92	0,69
4	X4	0	-1,98	0	-5,89	0	1	0,03	0	0,66	-53,06	0,51
t+1			28892,3	0	-33,9	0	0	-1,54	0	-132,3	24523,1	43,7

 

У стовпці b немає невід’ємних елементів і, отже, верхнє граничне значення параметра L ’max= s = 150 .

Нижнє граничне значення Lmin визначається за таблицею 6 як найменше відношення невід’ємного елемента стовпця b до відповідного елемента стовпця b. Оскільки в стовбці b тільки один невід’ємний елемент, то

 

Розв’язок задачі дозволяє зробити висновок, що отриманий оптимальний план відповідає

X1 = -6,58 + 0,1 * L ,

X3 = -22,68 + 0,26 * L,   при 100,11 £ L £ 150 .

 

Вимоги до звіту

Звіт повинен містити:

1. Найменування і мету роботи.

2. Запис завдання у канонічному вигляді.

3. Початкову симплекс - таблицю.

4. Результати проміжних розрахунків - ітерацій.

5. Висновки про результати оптимізації.

Варіанти завдань

 

Скласти оптимальний  план використання  двох типів (А, Б) знов проектованих печей і визначити необхідну кількість печей кожного типу, які забезпечували б максимальну продуктивність, за умови, що будуть забезпечені обмеження щодо фонду на виготовлення печей, кількості електричної енергії і площі цеху. Початкові дані вибрати за таблицями 9,10, 11,12.

 

Таблиця 9 – Обмеження системи

 

	Продуктивність, кг		Собівартість виго- товлення, грн		Енергоємність, кВт		Площа, яку займає одна піч, м2
Варіант 1
	А	Б	А	Б	А	Б	А	Б
1	2	3	4	5	6	7	8	9
a b c d e f	145 245 400 100 450 350	230 420 230 80 70 240	25600 8700 33900 9890 56100 57600	68700 7800 25700 8800 53400 9500	120 220 180 100 360 190	260 480 140 120 160 170	5,5 4,0 7,3 4,4 5,8 3,6	6,5 6,0 5,2 4,0 6,7 3,4
Варіант 2
	А	Б	А	Б	А	Б	А	Б
A b c d е f	210 150 410 130 380 120	120 420 225 25 30 130	65600 18700 32300 48900 56500 34600	62100 26200 21700 6200 52300 20500	210 200 230 140 220 160	160 380 190 100 180 180	5,6 4,2 6,2 3,4 4,8 4,3	2,6 5,0 5,8 2,8 2,9 4,6

Продовження табл.9

1		2		3		4	5	6	7		8		9
	Варіант 3
			А		Б	А	Б	А	Б	А		Б
	a b c d e f		320 200 140 260 240 180		210 220 215 30 35 300	34400 14300 12300 44300 30500 22300	32200 16200 19400 24300 21200 31300	210 200 140 270 320 180	190 240 190 120 140 210	2,5 3,3 3,1 4,8 4,4 3,8		2,2 3,6 4,2 2,8 2,5 5,2
	Варіант 4
			А		Б	А	Б	А	Б	А		Б
	a b c d e f		25 50 60 55 70 65		340 330 385 410 235 120	9600 9300 45900 18500 34100 22400	16700 16400 21100 26300 21600 38200	100 80 240 170 120 160	260 200 310 280 330 240	2,8 3,0 3,3 3,2 3,5 3,1		4,1 4,6 4,8 5,0 4,2 3,9
Варіант 5
		А		Б		А	Б	А	Б		А		Б
a b c d e f		100 80 120 50 390 280		240 320 230 55 60 300		11200 21800 29300 18100 33400 20800	18900 34800 41400 19800 18900 24500	160 180 170 160 260 280	250 230 210 180 180 300		4,1 3,8 4,2 2,8 4,0 4,3		4,9 4,6 5,0 3,0 2,6 4,8

 

Таблиця 10 - Ліміт електроенергії, кВт

 

	Варіант 1	Варіант 2	Варіант 3	Варіант 4	Варіант 5
а b с d e F	2000-2500 3200-3500 1500-2400 3500-3900 2500-2800 1500-1900	2200-2600 2800-3200 2200-2700 2600-3100 1900-2400 1600-1900	2200-2500 2300-2800 1900-2300 2700-3100 2600-3000 2200-2800	2800-3100 2400-2600 3400-3900 3100-3500 2500-2900 1800-2300	2200-2400 1800-2400 3100-3500 3000-3400 2800-3100 4000-4300

Таблиця 11 - Фонд на виготовлення печей, грн

 

	Варіант 1	Варіант 2	Варіант 3	Варіант 4	Варіант 5
а	150000- 250000	860000- 925000	315000- 342000	95000- 122000	245000- 282000
b	82000- 110000	125000- 152000	105000- 140000	86000- 98000	450000- 510000
с	225000- 250000	285000- 315000	98000- 120000	423000- 510000	680000- 724000
d	600000- 650000	221000- 250000	268000- 290000	156000- 186000	540000- 595000
e	788000- 850000	620000- 655000	345000- 382000	344000- 400000	883000- 912000
f	455000- 600000	280000- 320000	260000- 300000	265000- 283000	466000- 498000

 

Таблиця 12 - Загальна площа цеху під нові печі, м2

 

	Варіант 1	Варіант 2	Варіант 3	Варіант 4	Варіант 5
а b с d e f	55 63 76 49 54 67	38 52 64 49 56 37	46 49 62 57 34 43	54 52 64 38 42 51	37 43 58 72 64 57