Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2022-10-29 | 36 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Разностная схема, аппроксимирующая задачу Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике:
(1) ;
(2) .
В предыдущем параграфе была записана в канонической форме:
Напомним, что сеточные уравнения имеют следующий канонический вид:
(3) ;
(4) ..
Сравнивая с (3), получаем:
,
, .
Очевидно, что
(6) .
Разностное условие (4) можно трактовать, как частный случай записи (3) в которой , если , в этом случае .
Возможна и другая трактовка граничного условия (4).
- произвольные положительные числа,
, .
Кроме того, сеточное уравнение (3) в канонической форме может быть записано в виде:
(3′) .
Формально граничные узлы сетки можно определить двумя способами (в случае условия Дирихле):
1. те узлы сетки, значения в которых задано, образуют множество .
2. .
Принцип максимума
Напомним определение связности сетки.
Опр.
Сетка называется связной, если найдется множество узлов: , что выполняется:
(7) .
Некоторые из этих точек, попадающих в окрестность, могут быть и граничными.
Теорема 1. Принцип максимума.
Пусть для сеточной функции не являющейся тождественной константой для любых выполняется:
1. , (считаем, что сеточный оператор с коэффициентами, удовлетворяющими условию (5), а сетка -связная), тогда сеточная функция не может достигать наибольшего положительного значения во внутренних узлах сетки.
2. , тогда сеточная функция не может достигать наименьшего отрицательного значения во внутренних узлах сетки.
Доказательство.
Предположим противное: существует такая точка . Тогда найдется хотя бы одна точка .
Так как , среди всех зафиксируем .
В силу связанности сетки существует конечное множество узлов:
|
.
Рассмотрим уравнение (3′) в точке .
(8) .
В силу (5, 6): в силу (5): .
Если использовать «сильное» определение, то точка - точка в которой сеточная функция достигает наибольшего значения, то , то неравенство (8) не выполняется, т.к. , а .
Более интересным является применение другого «слабого» определения наибольшего значения: - точка в которой сеточная функция достигает своего наибольшего значения, то при условии, что найдется хотя бы одна точка .
Будем ориентироваться на это более содержательное определение.
Тогда , , следовательно . Выберем точку в качестве центра шаблона.
Имеем: .
Так как , то . Следовательно, .
Аналогично проделав для остальных узлов неравенства (3′) тоже самое, приходим к цепочке равенств: .
Теперь рассмотрим левую часть неравенства (8).
.
Полученное неравенство противоречит предположению .
Следствия из принципа максимума
Следствие 1.
Пусть выполнены условия предыдущей теоремы, кроме одного может быть тождественной константой на сетке.
Сеточная функция , заданная неотрицательна на границе , т.е. и имеет место .
Тогда функция .
Доказательство.
1. Пусть ;
2.
Рассмотрим первый пункт.
Выберем в качестве точки так называемый приграничный узел, т.е. .
Рассмотрим уравнение (3′) в точке .
(9)
1) , тогда , т.к. .
2) , тогда ,
, .
Отсюда вытекает, что левая часть (9) отрицательна, что противоречит условию, что .
Рассмотрим второй пункт.
Пусть существует точка , тогда в силу предыдущей теоремы 1 , следует, что нет такой точки .
Если точка не единственная точка сетки, в которой значение функции отрицательно, то среди всех этих точек следует выбрать такую точку, что , которая удовлетворяет неравенству. Если не одна, то выбирается любая.
Следствие 2.
Однородное уравнение с однородными граничными условиями , , имеет только тривиальное решение.
Доказательство.
Из теоремы
1)
, если ;
2)
, если
Из 1) и 2) следует, что и , следовательно .
|
Следствие 3.
Исходное сеточное уравнение при условии, что выполняются ограничения (5), (6), а также сетка связная, имеет единственное решение.
Это следствие вытекает из известной теоремы алгебры, т.к. соответствующая однородная система имеет тривиальное решение в силу следствия 2, следовательно неоднородная система имеет единственное решение.
Опр.
Сеточное уравнение вида:
(1)
будем называть уравнением, а оператор L – оператором из исходного семейства, если (1) определено во внутренних узлах сетки , а - связное множество относительно шаблона.
|
|
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!