Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2022-10-29 | 28 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
До сих пор мы рассматривали простейшие операторы, не зависящие от пространственных переменных. На практике это редко встречающаяся ситуация. Поэтому получим оценки для оператора разностной производной второго порядка с переменными коэффициентами.
;
.
В двумерном случае рассматривается задача Дирихле.
;
,
В этих задачах мы приходим к оператору второго порядка с переменными коэффициентами.
(1) .
Будем использовать:
(2) .
Получим по возможности более точные оценки вида:
(3) , где константы и не могут быть улучшены.
Опр. 1
Постоянные в неравенстве (3) называются постоянными энергетической эквивалентности или энергетическими постоянными.
Воспользуемся первой разностной формулой Грина для финитных сеточных функций.
(4) .
В соответствии с (4), скалярное произведение (2) запишется в виде:
(*)
. В соотношении (1), если иметь в виду аппроксимацию ОДУ II-го порядка .
Следовательно, , тогда:
(*)
Воспользуемся еще раз формулой (4) в которой , прочитав ее справа на лево и умножив на (-1).
.
Вспомним оценку сверху для , т.е.
(5) , тогда
.
Итак, получили оценку:
(6) .
Будем считать, что - точная константа в (5).
___________________________________________________________
?? Можно ли улучшить оценку (6), уменьшив .
‼ Получить самостоятельно оценку снизу (7).
___________________________________________________________
(7) , где .
Приведем без вывода соответствующие оценки – укажем постоянные энергетической эквивалентности для оператора (двумерный случай):
(8) (8) - дискретный аналог (9):
(9) ; .
(10) , где
(11) ,
(12)
(13) , где
(14)
___________________________________________________________
‼ Получить самостоятельно оценки для: а) и ; б) уточнить формулы (12) и (13).
|
___________________________________________________________
Корректность операторно-разностных уравнений
Общие сведения
Построенные разностные аналоги краевой задачи для ОДУ II-го порядка, а также задачу Дирихле для уравнения Пуассона, могут быть представлены в виде операторного уравнения:
(1) .
Здесь - известная функция правой части из гильбертова пространства сеточных функций, - искомая сеточная функция, которая может считаться финитной при соответствующем переопределении граничных условий и правой части.
,
,
,
.
Пусть нормы и - нормы, введенные на пространстве функций, являющихся решением (1), норма для , а норма введена на пространстве функций, являющихся правыми частями в (1), т.е. для .
В простейшем случае эти нормы могут совпадать.
Можно считать, что решение – это множество финитных функций.
Опр. 1
Операторное уравнение (1) называется корректным, если:
1. решение задачи (1) существует и единственно для всех - семейство функций;
2. для любой пары существует , не зависящая от , такая, что выполняется неравенство:
(2) .
Гильбертово пространство финитных функций обозначим .
С пунктом 2) определения корректности, мы встречались ранее, называя его условием устойчивости по правой части. Новым здесь является то, что в левых и правых частях 2) могут фигурировать разные нормы, а также граничные условия, если они есть, учтены в правой части. Неравенство (2) означает, что малым изменениям входных данных соответствует малое изменение возмущений. Т.е. малое по норме изменение функции приводит к малому изменению нормы .
В формулировке, как и ранее, подразумевается линейность и ограниченность оператора .
Докажем последнее утверждение, т.е., на ряду с задачей (1) рассмотрим задачу (3):
(3) .
Вычтем из (3) (1), получим
, операторы задач (1), (3), (4) совпадают.
(4) .
.
Поскольку , то, следовательно, .
|
|
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!