Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2022-10-29 | 20 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Рассмотрим случай сеточной функции, определенной на равномерной сетке
, .
Будем рассматривать финитные сеточные функции, если:
.
Содержательно, факт финитности означает, что в случае граничных условий первого рода разностную задачу можно переформулировать таким образом, что граничные условия станут нулевыми.
(1) ;
(2) ;
Пусть
(3) .
Аналогично для
(4) .
Будем считать, что .
Изменим постановку задачи (1), (2), скорректировав правую часть в зависимости от узла (в приграничных узлах), а также заменив правые условия на однородные.
(5) ;
(6) ;
(7)
Задачи (1), (2) и (5), (6) эквивалентны за исключением двух точек: х=0, х=N-1, где значения сеточных функций были переопределены.
Введем на сетке скалярное произведение: .
(8)
___________________________________________________________
‼ Проверить аксиомы скалярного произведения самостоятельно.
___________________________________________________________
На пространстве сеточных функций определенных на сетке рассмотрим оператор симметричной разностной производной второго порядка .
.
Используя ранее введенные формулы Грина, установим некоторые свойства этого оператора.
Свойство 1.
Оператор является положительным, т.е. , из пространства финитных функций из гильбертова пространства, т.е. .
Доказательство:
Используем первую формулу Грина, где ,
.
В соответствии с полученными результатами задача (1), (2) сведенная к задаче (5), (6) имеет единственное решение. Это следует из того факта, что задача (5), (6) может быть записана в виде , где , следовательно, существует и ограничен оператор , таким образом . Кроме того, тогда и только тогда, когда .
___________________________________________________________
‼ Показать самостоятельно, что этот оператор линейный.
|
___________________________________________________________
Свойство 2.
Оператор является самосопряженным, т.е. ,.
Доказательство:
Используем вторую разностную формулу Грина,
.
Следовательно, .
Второе свойство в совокупности с первым позволяет ввести энергетическое пространство сеточных функций, которое представляет собой частный случай Гильбертова пространства сеточных функций с определенным специальным образом скалярным произведением и нормы, которая называется энергетической нормой.
.
________________________________________________________________
‼ Доказать, что введенное таким образом скалярное произведение удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения. Показать самостоятельно, что этот оператор линейный. Проследить где используется самосопряженность оператора, а где его положительность.
________________________________________________________________
(9) ;
(10) .
Получим нужные в дальнейшем оценки вида:
(11) .
Эти оценки, по возможности, должны быть не улучшаемыми, т.е. должно быть наименьшим, а - наибольшей константами.
Получим оценку (11) используя информацию о спектре оператора .
___________________________________________________________________________________________________________
‼ Доказать равенство самостоятельно.
________________________________________________________________
Ранее было получено, что спектральная задача:
;
имеет решение:
(12) - собственные значения.
(13) ;
(14) , .
Так как оператор самосопряженный, то существует базис из собственных векторов этого оператора, который можно пронормировать. Элементы этого базиса заданы собственными функциями .
в силу ортогональности
.(15)
Оценим сверху и снизу полученную сумму.
.
Учитывая равенство (15) и последнее соотношение, получаем:
.
В виде можно взять . На самом деле, приведенное ранее значение превышает , т.к. . Поэтому должна быть заменена на .
Используя (15), получим оценку сверху.
.
Итак, получили оценку:
(16) .
Вспомним определение нормы оператора в линейном нормированном пространстве.
|
.
Не трудно показать, что
(17) .
В этой оценке понимается минимальная из всех возможных норм оператора.
________________________________________________________________
‼ Показать самостоятельно, что с точностью до величины О(1).
________________________________________________________________
|
|
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!