Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2022-10-29 | 31 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Одним из эффективных методов приближенного решения уравнений являются метод сеток или разностный метод. Область непрерывного изменения аргументов заменяется дискретным множеством точек, которое называется сеткой. Функции, определенные в узлах сетки называются сеточными функциями. Производные, входящие в дифференциальные уравнения и граничные условия, меняются на разностные производные. Краевая задача для дифференциального уравнения заменяется системой линейных или нелинейных алгебраических уравнений. Такие системы называют разностными схемами. Остановимся подробно на основных понятиях теории разностных схем.
Одномерный случай. Сеткой на отрезке
называется любое конечное упорядоченное множество точек этого отрезка. Чаще всего будет использоваться равномерная сетка вида:
. Здесь h = (b – a) / N - шаг сетки.
Двумерный случай. Для прямоугольника G ={ a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d } равномерную сетку определим как: , где
и . Здесь
h 1 = (b – a) / N 1 и h 2 = (d – c) / N 2 - шаги по переменным x и y. Если h1 = h 2 , то сетка называется квадратной, иначе – прямоугольной. В общем случае сетка может быть неравномерной.
Рассмотрим понятие сеточной функции. Пусть - сетка, введенная в одномерном случае, а х i - узлы сетки. Функция y = y (x i) дискретного аргумента х i называется сеточной функцией, определенной на сетке . Аналогично определяется сеточная функция на любой сетке. Сеточные функции можно рассматривать как функции целочисленного аргумента, являющегося номером узла сетки.
Пусть задана сетка Множество всех сеточных функций, заданных на сетке , образует векторное пространство. В пространстве сеточных функций можно определить разностные или сеточные операторы.
|
Оператор , преобразующий сеточную функцию у в сеточную функцию
f = y, называется разностным или сеточным оператором. Множество узлов сетки, используемое при написании разностного оператора, называется шаблоном этого оператора. Простейшим разностным оператором является оператор разностного дифференцирования сеточной функции.
Рассмотрим задачу о приближенном вычислении производных функции u (x), определенной на отрезке Будем считать, что функция u (x) обладает определенной степенью гладкости, тогда разностные производные первого порядка на сетке для функции u (x) находятся по следующим формулам:
- правая, - левая и - центральная разностные производные функции в узле xi. Если точка xi
фиксирована, а шаг h стремится к нулю, то каждое из разностных отношений
стремится к значению производной функции u (x) в точке xi . Заметим, что заменить производную можно любым разностным отношением, но порядок погрешности при такой замене будет разным.
Разностные производные старшего порядка можно ввести по реккурентным формулам. Если в формулах разностной производной первого порядка вместо значений функции в узле сетки использовать значение разностной производной,то получим формулы для вычисления разностной производной второго порядка, например:
Разностная производная второго порядка не единственная. Аналогично строятся разностные производные любого порядка.
Приведены примеры простейших аппроксимаций дифференциальных выражений разностными на равномерной сетке. И общем случае погрешность зависит как от распределения узлов сетки, так и от гладкости функции.
Дальнейшее изложение посвящено построению и исследованию разностных краевых задач для модельных уравнений математической физики.
Построение разностных схем
|
|
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!