Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Топ:
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2022-10-29 | 23 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Метод конечных элементов носит название вариационно-разностного метода. Реже встречается его другое название как проекционно-сеточный метод.
Этот метод применяют в случае сложной геометрии области, где ищется решение задачи, также является наиболее естественным, когда исходная задача имеет вариационную формулировку.
§1
Кусочно-линейные восполнения сеточных функций.
Фактически с кусочно-полиномеальными восполнениями мы имели дело при рассмотрении интерполирования, когда разговор шел о сплайнах.
Поставим задачу.
Пусть - непрерывная функция на отрезке . Построим, в общем случае, не равномерную сетку . Пусть в узлах сетки заданы значения функции .
Необходимо построить кусочно-линейную, т.е. линейную на каждом отрезке, функцию , которая в узлах сетки совпадает с исходной функцией , т.е. .
Рассмотрим два способа построения неизвестной функции.
1-й способ построения функции .
.
(1) ,
,
.
Функция не имеет производных в точках , но в точках имеются односторонние производные и можно разумным способом доопределить полную производную в этих точках.
2-й способ построения функции .
Этот способ связан с введением базисных функций.
Построим базис.
(2)
(3) .
___________________________________________________________________________________________________
‼ Доказать, что построенная система функций линейно не зависима, т.е. любая линейная комбинация равна нулю только тогда когда все коэффициенты равны нулю на отрезке [a,b]. Показать, что все функции базиса квадратично интегрируемы, т.е. .
___________________________________________________________________________________________________
Построенная система функций является базисом в классе кусочно-линейных функций, определенных на отрезке [a,b] у которых углы наклона могут меняться только в узлах сетки.
|
Очевидно, что
(4) .
Особо выделим случай финитных функций: , тогда:
(5) .
В дальнейшем нам пригодятся производные, вычислим их.
(6)
Удобство формул (2), задающих базисные функции состоит в том, что носитель функции составляет существенно малую часть от области определения функции.
Для дальнейшего нам потребуются леммы, которые позволяют оценить среднеквадратичное уклонение функции от в зависимости от гладкости функции и шагов сетки.
Лемма 1
Пусть функция , т.е. . Тогда имеет место неравенство: (7) .
Доказательство:
Рассмотрим на интервале выражение вида .
.
Итак, получено равенство:
(8) .
Возведем равенство (8) в квадрат и проинтегрируем.
(9) .
Оценим следующее выражение:
применим неравенство Коши – Буняковского:
.
Итак, была получена оценка
.
Вернемся к равенству (9).
.
Из последнего неравенства получаем,
.
Взяв , затем суммируя полученное равенства по , мы получаем неравенство (7).
Лемма 2 Оценка среднеквадратичного отклонения функции от .
Пусть функция , т.е. . Тогда имеет место оценка:
(10) .
Доказательство:
Имеет место тождество
откуда следует равенство (10).
___________________________________________________________________________________________________
‼ Получить аналог оценок (7) и (10) в равномерной метрике .
___________________________________________________________________________________________________
§2
|
|
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!