Теорема 3. Оценка решения неоднородного уравнения.

Пусть поставлена задача вида:

(1) ;

(2) ,

с оператором из исходного семейства

(3) .

Тогда имеет место оценка:

(4) .

Доказательство.

А) Случай, когда  является тривиальным, т.к. задача (1), (2) удовлетворяет условиям следствия 2 теоремы 1: .

Тогда (4) есть равенство:

.

В) Случай, когда . Следовательно, существует .

Рассмотрим для задачи (1), (2) вспомогательную задачу: (5), (6):

(5) ,

(6) .

Поскольку задачи (1), (2) и (5), (6) удовлетворяют в частности условиям теоремы 2, то справедливо неравенство:

(7) ,

(8) .

Пусть точка  - точка в которой .

Покажем, что эта точка является внутренней точкой, т.е. не может быть граничной.

Предположим противное, т.е. , тогда имеем неравенство:

.

Следовательно, , что противоречит условию.

Запишем уравнение (5) в этой точке.

.

Если в задаче (5), вместо  подставить , тогда

,

,

, т.к. ,

.

Так как .

С другой стороны, , в силу теоремы сравнения.

Заменяя  и переходя к максимуму, получаем:

(10) .

Теорема 4. Обобщение теоремы 3

Пусть поставлена задача вида:

(1) ;

(2) ,

с оператором  из исходного семейства.

Имеется связная сетка  и  для

(3) Причем, , если .

Тогда имеет место оценка:

(4) .

______________________________________________________________

‼ 1)  - связная, или нет?

2) К чему приведет устранение условия ?

3) Рассмотреть обобщение теоремы 3 на случай, ограничения на коэффициенты:

______________________________________________________________

 

Исследование устойчивости разностных схем на основе принципа максимума и следствий из него

 

    Принцип максимума дает достаточные условия устойчивости по граничным данным и по правой части.

В ряде случаев можно получить устойчивость и по начальным данным, если начальные условия учесть в правой части.

Пример.

Рассмотрим непрерывную задачу:

(1)

(2)

Считаем, что уравнение невырожденное.

(3) .

Поскольку коэффициенты постоянны, то

(4)  ,

(5) .

Запишем дискретную задачу (4), (5) в канонической форме.

(6)

,

, .

(7) .

Поставим задачу.

    Используя запись (6), (7), ограничения (3) требуется доказать устойчивость задачи (6), (7) по граничным данным и правой части.

    Чтобы доказать устойчивость необходимо доказать неравенство:

(8)  ,

.

Рассмотрим две вспомогательные задачи:

I. 

    .

Выполняются все условия теоремы сравнения (теорема 2), а именно:

.

Для

.

Следовательно, из теоремы 2, получаем:

(9) ,

    .

Неравенство (9) означает, что в доказанной оценке (8) равна 1.

II.

(10)

(11) .

Очевидно, все условия теоремы 3 выполняются, следовательно, справедлива оценка:

.

,             .

(12) ,           .

Из неравенства треугольника и оценок (12), (9) следует оценка:

.

Полученная оценка может быть использована для доказательства сходимости.

Рассмотрим задачу для погрешности.

Введем погрешность: .

, подставим в исходную разностную схему (4), (5):

(4)  ,

(5) .

(13) ,

      

(14) .

По структуре (13), (14) аналогична исходной разностной схеме, отличие состоит лишь в правых частях.

В правой части (13) стоит погрешность аппроксимации исходного разностного дифференциального уравнения разностной схемой на решении задачи.

Ранее было показано, что:

(12′) ,            .

В соответствии с доказанным и неравенством (12′) получаем,

.

 

Примеры решения задач на принцип максимума и следствий из него

 

    Используя принцип максимума, установить достаточное условие устойчивости явной схемы для однородного уравнения теплопроводности.

Пример 1.

(1)

(2) .

В канонической форме .

Проверим:

.

Пусть , .

Следовательно, не существует такого , чтобы . Следовательно, либо Р неподходящее, либо схема не устойчива.

Возьмем .

.

Схема будет из исходного семейства, если , т.е. .

Замечание.

Интересно отметить, что такое же ограничение будет получено энергетическим методом для исследования устойчивости.

    Во внутренних узлах сетки :

(3) .

К полученной задаче применим следствие 4 теоремы 1.

Поэтому . (*)

Границей для данной сеточной задачи является множество узлов: .

Предполагается, что условия согласованны.

(*) .

    Второй способ предпочтительнее.

Непосредственно учитываем граничные условия (2) в уравнении (1).

Для как и ранее.

В точке  получим (3) в виде:

 Получим каноническую форму.

.

Уравнение необходимого условия, следовательно,

.

В точке

.

Следовательно, .

В точках ,

             .

В точках  имеем:

.

.

Формально считаем, что все , т.к. окрестность точки Р – пустое множество, т.е. точка Р – единственная.

    В силу теоремы 4

 

воспользуемся неравенством многоугольников и тем, что   получим

Пример 2.

(1)

(2)

(3) .

Так как коэффициенты постоянные, то будем использовать аппроксимацию

,

,  

.

Для повышения порядка можно взять .

Разобьем нашу задачу на две, представив решение в виде: .

I.

II.

Разделим (2) на к и переобозначим, получим:

;

,

, продифференцируем.

.

.

Для задачи (4) – (6) сформулируем вспомогательную задачу:

Последняя задача имеет решение: .

В силу теоремы сравнения

(10) .

Займемся задачей (7), (8), (9), ориентируясь на теорему 4.

Уравнение (7) из исходного семейства

 в котором  и .

Займемся точкой , используя равенство (8).

;

;

.

Таким образом .

Запишем уравнение (7) в .

;

;

;

Исследование устойчивости закончено, если учесть, что

 используем неравенство треугольников .

.