Определение корректности и устойчивости.

    Для двухслойной схемы (6), (7) будем рассматривать множество решений, зависящих от  как от параметра, а также от входных данных: начального условия  и правой части .

 

Опр. 2

       Говорят, что схема(6), (7) корректна (корректно поставлена), если для достаточно малых значений :

1. решение задачи (6), (7) существует и единственно;

2. для любых  существуют , независящие от  и , параметра , такие, что выполняется неравенство:

(8) .

    Условие 2) является определением устойчивости (6), (7) по начальным данным и правой части.

    Можно отдельно ввести условие устойчивости по начальным данным.

    В приложениях возникает потребность получать более сильные по сравнению с (8) оценки устойчивости по начальным данным.

Опр. 3

       Схема (6), (7) называется -устойчивой по начальным данным, если для любого n:  выполняется неравенство:

(9) , где  -константа независящая от ; .

    Нетрудно видеть, что достаточным условием -устойчивости (9), является ограниченность оператора перехода S: .

Действительно, при однородной правой части имеем: .

(10) , если , то приходим к (9).

Замечание.

1. в определение - устойчивости, как правило, используются значения  близкие к единице.

Например, ,

.

2. в определение корректности двухслойной схемы в условии устойчивости (8) часто используется несколько другая форма:

вместо (8) используют

(8′) .

Очевидно, что  также является нормой, которую можно обозначить .

В соответствии с формой (8) и (8′), а также учтя отдельно начальные данные сформируем две задачи:

I.

(12) ;

(13) ;

II.

(14) ;

(15) .

Для этих задач должно выполняться:

(16) ;

(17) .

, а, следовательно, и 

.

    Оказывается, нет необходимости отдельно исследовать устойчивость по правой части, если схема -устойчива по начальным данным. Точнее имеет место теорема.

 

Теорема 1

(18) ;

(19) .

Если задача (18), (19) равномерно устойчива по начальным условиям ( -устойчива относительно начальных данных) в норме . Тогда она устойчива и по правой части и имеет место оценка:

,

 где , .

Доказательство:

Выразим из (18) , предполагая, как и везде .

.

Очевидно неравенство:

(*) .

    Решим вспомогательную задачу, оценив сверху норму оператора перехода.

Покажем, что , .

       Заметим, что . Действительно, сформулируем вспомогательную задачу, отличающуюся от задачи (18), (19) однородной правой частью.

;

.

    Из того, что схема (7), (8) - устойчива следует выполнение:

(20) ,

(21) , .

Возьмем норму от обеих частей равенства (20).

(22) .

    Используем наименьшую норму оператора из его возможных норм.

Сравнивая (22) и (21), можем считать, что  фигурирующее в определении (21) удовлетворяет неравенству.

    Оценка (22) достигается в конечномерном случае при определенном выборе вектора .

Строго говоря, надо было указать .

В случае если  и этого можно добиться выбором .

, то в роли функции , можно подставить собственную функцию оператора , которая соответствует собственному значению. Мы добьемся выполнения (22).

    Вернемся к соотношению (*), где - постоянная, фигурирующая в определении - устойчивости.

,

1.7.4. Необходимое и достаточное условие устойчивости в Н_А

 

Энергетическое пространство

Пусть  - гильбертово пространство сеточных функций и задан оператор А с областью определения  и выполняются соотношения:

1. ,

2. ,

3. оператор  является линейным оператором.

    Примерами такого оператора могут быть:

1)  будет финитным в , т.е. , тогда он положительно определен и является самосопряженным.

2) , предполагаем, что ,

    ,  для всех    

 

Опр. 1   Энергетического пространства.

 

    Энергетическим пространством  называется линейное нормированное пространство сеточных функций в котором скалярное произведение любых двух сеточных функций  определяется следующим образом

(1) . Норма в  определяется по формуле

(2)

 __________________________________________________________

‼  Проверить аксиомы скалярного произведения.

__________________________________________________________

 

Теорема А.А. Самарского.

Пусть дана двухслойная разностная схема вида:

(3) ;

(4) ;

(5) .

Тогда для равномерной устойчивости схемы (3), (4) по начальным данным с  необходимо и достаточно выполнение операторного неравенства:

(6) , т.е. должно выполняться .

Доказательство:

    В соответствии с теоремой требуется доказать, что для выполнения неравенств

(7)  

необходимо и достаточно выполнение неравенства (6) при условии (5) для схемы (3), (4).

Достаточность.

    Перепишем (3) в компактной форме.

Умножим обе части полученного равенства на .

(8) .

Заметим, что

(9) ;

подставим (9) в (8).

(10)

Равенство (10) носит название основного энергетического тождества.

С учетом введенной ранее энергетической нормой (2) последнее равенство (10) перепишется:

(11)  - вторая форма основного энергетического тождества.

Опустим первое слагаемое, принимая во внимание (6), а точнее , получим:

(13) , следовательно, .

Поскольку n – любое, то достаточность доказана.

(14)  .

Замечание.

Если неравенство (6) нестрогое, то неравенства (12), (13), (14) также будут нестрогими.

Свойство - устойчивости с  при этом также выполняется.

Необходимость.

Указание: воспользоваться энергетическим тождеством в форме (11).

    Положим в (11) , учтем, что справедливо соотношение , так как

, где  может быть любой функцией из .

При n=0 схема имеет вид:

.

Выберем  произвольно.

Покажем, что всегда найдется элемент , который удовлетворяет задаче (3), (4). Фактически мы его найдем.

, так как оператор обратим, то есть, , то

(15) , умножим на , найдем требуемую функцию .

.

Таким образом, мы приходим к неравенству для произвольной функции .

, что и означает .

Замечание.

     Пусть , т.е. зависит от временного слоя. Тогда выполнение неравенства  для любых  гарантирует -устойчивость с  схемы (3), (4).

 

Пример 1.

 

Исследовать устойчивость неявной схемы для уравнения теплопроводности.

(16) ;

(17) ;

(18) .

    Граничные условия (18) можно учесть в функции правой части , таким образом, что их можно считать нулевыми, т.е. , .

    По теореме 1, из  - устойчивости по начальным данным следует  - устойчивости по правой части.

Изучение задачи (16)-(18) сводится к изучению  - устойчивости, если таковая имеется, по начальным данным.

Запишем соответствующую двухслойную схему.

(19) ;

(20) .

Получим каноническую форму двухслойной схемы.

(21) .

Ранее было показано, что  - оператор положительно определен

(22)  - самосопряжен.

Используя (22) можно переписать (21) в виде:

(23) .

В канонической форме (23) будет иметь вид: . Получим ее.

,

,

.

Сравнивая с формой (3), видим, что .

Проверим операторное неравенство .

. Поскольку , то последнее неравенство выполняется.

 

Пример 2.

 

    Исследовать устойчивость. Получить достаточные условия устойчивости для уравнения теплопроводности.

Явная схема для уравнения теплопроводности имеет вид:

(24) ;

(17) ;

(18) .

    Проведя аналогичные рассуждения, что и в первой задаче, мы приходим к виду:

(25) , где ,

(26) .

Сравнивая с канонической формой (3), видим, что .

Определим значение шага по времени , гарантирующего выполнение операторного неравенства

То есть надо найти такие  для которых выполняется операторное неравенство.

Легко показать, что

(27) .

__________________________________________________________

‼  Доказать самостоятельно (27).

__________________________________________________________

 

Итак, имеем цепочку , т.е. выполнение неравенства  - достаточное условие выполнения неравенства .

, в силу линейности оператора , поскольку, , то , а, следовательно,

(28) .

    Ранее было выведено достаточное условие для , тогда получим , что совпадает с результатом, который можно получить методом гармоник.

Выражение (28) показывает, что явная схема приводит к достаточно жестким ограничениям на шаг по времени.

    Пусть , тогда и число шагов по времени будет составлять порядка . Желательно не превышать число шагов по времени , так как число  может обесценить результат при накоплении ошибок.

    Это и есть основной недостаток явных схем, зато преимуществом является ее простота – приводит к диагональным матрицам.

Формально явные схемы допускают любой шаг по времени, однако он не может быть слишком велик.

    Далее будет рассмотрено понятие асимптотической устойчивости применительно к уравнению теплопроводности.

    При , решение уравнения теплопроводности выходит на так называемый регулярный режим, и его вид определяется собственной функцией и соответствующим ей минимальным собственным значением оператора задачи.

    Правильная передача такого поведения дискретной задачи обеспечивается свойством устойчивости асимптотической модели, которая в свою очередь приводит к .