Исследование погрешности аппроксимации граничного условия

.

.

Если выбрать произвольную гладкую функцию , то нетрудно показать, что

и эта оценка не улучшаема.

Однако если рассматривать функцию  - решение задачи (1), (2):

.                        (1)

,                                        (2)

то оценка может быть улучшена.

Рассмотрим и покажем что:

. (*)

.                                           (3)

Так как

.                                   (4)

и

,

то

.                                                    (5)

Подставим (4) и (5) в (3) получим:

.

Вспоминая, что

получаем

.        (6)

Здесь .

Преобразуем разностное граничное условие х=0 с учетом (6).

.

Поскольку граничное условие

,

то мы получаем:

.                                                                                     (7)

.              (8)

.                                           (9)

Подставим (8), (9) в (7).

.               (10)

Выражение  представляет собой левую часть дифференциального уравнения (1) которая выполняется и для х=0

.

       Условие на правой границе задается точно   и в исследовании не нуждается.

В итоге получаем оценку (*) к которой мы и стремились.

1.4.5. Понятие о погрешности аппроксимации, устойчивости и сходимости разностной схемы на примере краевой задачи для ОДУ второго порядка

Ранее интегро – интерполяционным методом была построена модель, состоящая из разностных уравнений:

.                        (1)

.                                   (2)

Решение этой задачи есть вектор .

 - решение задачи с непрерывным оператором.

Пользователю важно знать погрешность, введем ее как

.                                       (3)

Мы имеем семейство задач (1-2) которые зависят от  как от параметра, размерность решения устремляется к бесконечности, если устремить шаг к нулю.

Подставим выражение (3) в задачу (1) и (2).

.                        (4)

.                                 (5)

Заметим, что все разностные операторы являются линейными(,  числа )

.                            (6)

.                       (7)

 - решение дискретной задачи,

 - решение непрерывной задачи.

Разностное граничное условие (5) запишется в виде:

,                                                       (8)

,                                                 (9)

.                                                                (10)

Задача для погрешности (6), (8), (10) поставлена.

Перед тем, как провести рассуждения относительно погрешности, сформулируем определение сходимости разностного решения.

Определение Локальной сходимости.

Решение разностной задачи сходится к решению непрерывной задачи  с порядком m>0 в точке , если      , h – шаг сетки.

На практике используют понятие глобальной сходимости или сходимости по норме. Это в свое время требует введения какой-либо нормы в пространстве функций, определенных на сетке.       

   

или

введем определение глобальной сходимости решения разностной задачи.

Определение Глобальной сходимости.

Решение разностной задачи сходится к решению непрерывной задачи  с порядком m>0, если

,

где                                    

 - определена на сетке, .

Структура задачи (6), (8), (10) совпадает со структурой задачи (1), (2), поэтому целесообразны следующие утверждения.

Определение. Разностная схема (1), (2) устойчива по правой части и граничному условию, если для произвольных правых частей , для любых шагов сетки справедливо неравенство:

       ,    где М= const>0 не зависящая от h.            (12)

Оценки вида (12) называют априорными. Получением такого вида оценок занимается теория устойчивости.

       Предположим, что оценка вида (12) для задачи (1), (2) выполняется. Тогда сразу следует сходимость разностной задачи (1), (2) к решению непрерывной задачи (1), (2) из параграфа 1, если функция решения спроектирована в .

В соответствии с оценкой (12) для задачи (6)-(10) справедливо неравенство: 

.

Ранее было показано, что , поэтому

.

Более общее утверждение называемое теоремой Лакса – Филиппова.

Теорема Лакса – Филиппова. Для линейных разностных задач из аппроксимации и устойчивости следует сходимость, причем скорость сходимости m совпадает с порядком аппроксимации .