Дифференциальные модели в экономике

Физико-математический факультет, 3 курс, профиль «Математика. Информатика»

Теория дифференциальных уравнений широко применяется в различных областях науки, в том числе и в экономике. Для изучения математических моделей экономики, помимо экономической науки, необходимо владеть математическими методами, среди которых аппарат дифференциальных уравнений играет важную роль. С помощью дифференциальных уравнений можно описать множество процессов макроэкономической динамики. В данной статье рассмотрены несколько примеров, которые решаются при помощи дифференциального исчисления.

Основу экономической теории составляют экономические законы, выраженные в виде количественных соотношений между величинами, характеризующими экономическую систему, или процесс. Такие законы дают возможность исследовать реальные экономические системы на основе математических моделей. Применение дифференциальных уравнений в экономике основано на механическом смысле производной, согласно которому производная  выражает скорость изменения функции .

Рассмотрен равновесный рынок в предложении, что спрос  и предложение  определяются только ценой . При увеличении цены предложение растет. Вместе с тем предложение положительно реагирует на скорость изменения цены  и на темп роста цены  в предложении, что  - дважды непрерывно дифференцируемая функция.

Получены уравнение предложения:   и уравнение спроса: . Условие равновесия рынка приводит к равенству , которое равносильно уравнению . Данное уравнение представляет собой математическую модель рынка с прогнозируемыми ценами.

Также рассмотрена упрощенная экономическая модель Р.Солоу, в которой экономическая система производит один универсальный продукт. Этот продукт может потребляться и инвестироваться в производство. Такая модель отображает макроэкономические аспекты процесса воспроизводства.

Прирост фондов за время  есть , откуда в пределе  имеем , . Годовой выпуск определяется линейно-однородной производственной функцией . Модель Солоу в абсолютных показателях записывается в виде следующего дифференциального уравнения: . Учтем свойство линейной однородности производственной функции , полагая . Тогда уравнение , , ,   представляет собой модель Солоу в удельных показателях, где  – показатель фондовооруженности. Данная модель описывает различные режимы экономики, включая устойчивый рост, а также позволяет проанализировать переход к устойчивому росту.

Список литературы

1. Ахтямов А.М. Математические модели экономических процессов / А.М. Ахтямов. - Уфа: РИЦ БашГУ, 2009. - 26 с.

2. Герасимов Б.И. Дифференциальные динамические модели: учебное пособие / Б.И. Герасимов, Н.П. Пучков, Д.Н. Протасов. – Тамбов: Изд-во ГОУ ВПО ТГТУ, 2010. - 5 с.

УДК 538.9

Н.В. Чурсина

(научный руководитель: Ю.А. Померанцев, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра общей физики)