Занятие 11. Тема 4. Игры с природой. (Принятие решений в условиях неопределенности и риска. Теория статистических решений.) Критерии Байеса и Лапласа.

 

Рассмотрим ситуацию, когда имеются: Игрок А, игрок П (природа). Поведение человека – стратегия. Поведение природы - состояние.

 

A - матрица выигрыша.

	П1	…	Пn
A1
…		aij
Am

 

H (A_i, П_j) = a_ij

 

Риском i-той стратегии игрока А в состоянии Пj называется r_ij = β_j - a_ij.

А→R_a=║r_ij║

,

 

Сведем все критерии в таблице.

Критерии относительно выигрышей

№№ п/п	Критерий	Вероятности состояний природы	Показатель эффективности стратегии
1B	Критерий Бейса относительно выигрышей
2B	Критерий Лапласа относительно выигрышей
3B	Критерий относительный значений вероятностей

 

Критерии относительно рисков состояний природы с учетом рисков

№№ п/п	Критерий	Вероятности состояний природы	Показатель эффективности стратегии
1P	Критерий Бейса относительно рисков
2P	Критерий Лапласа относительно рисков
3P	Критерий относительный значений вероятностей состояний природы с учетом рисков

 

 

Пример. В условиях примера 2.20.5 найдем оптимальную стратегию по критерию относительных значений вероятностей состояний природы с учетом рисков.

Выпишем матрицу рисков (2.20.26) (без последнего столбца) для платежной матрицы (2.20.37) (без последнего столбца) и добавим к ней столбец показателей неэффективности стратегий r_i, вычисленных по формуле (2.20.39):

Ai \ Пj	П1	П2	П3	П4
A1
A2
A3
A4

 

Так, например, =4*7+3*1+2*6+1*4=47.

Из последнего столбца матрицы мы видим, что минимальным показателем неэффективности =12 обладает стратегия А₃ и, значит, она по критерию относительных значении вероятностей состояний природы с учетом рисков является оптимальной.

 

Вопросы для самоконтроля

1. Почему в игре с природой при редуцировании платежной матрицы умень­шают только число ее строк (стратегии игрока А), а число столбцов (стратегии природы) оставляют неизменным?

2. Дайте определение оптимальной по Байесу чистой стратегии относительно выигрышей.

3. Каким образом связаны показатели эффективности смешанной и чистой стратегий по Байесу относительно выигрышей?

4. Почему при принятии решения в условиях риска по критерию Байеса относительно выигрышей можно обойтись только чистыми стратегиями, не используя смешанные?

5. Дайте определение оптимальной по Байесу чистой стратегии относительно рисков.

6. Почему при принятии решения в условиях риска по критерию Байеса относительно рисков можно обойтись только чистыми стратегиями, не используя смешанные?

7. Каким отношением связаны между собой оптимальные по Байесу стратегии относительно рисков и относительно выигрышей?

8. Дайте определение оптимальной по Лапласу чистой стратегии относитель­но выигрышей.

9. Какая существует связь между критериями Байеса и Лапласа?

10. Какой показатель используется для выбора оптимальной по Лапласу чистой стратегии относительно риска?

11. Какой показатель используется для выбора оптимальной стратегии по кри­терию относительных значений вероятностей состояний природы с учетом выиг­рышей?

12. Какой показатель используется для выбора оптимальной стратегии по крите­рию относительных значений вероятностей состояний природы с учетом рисков?

Упражнение 1.

 

В условиях задачи «Поставка товаров» (см. упражнение 4.1), найти чистую стра­тегию, оптимальную по критерию Байеса относительно выигрышей, если вероятно­сти состояний природы известны и равны:q₁ = 0,2; q₂ = 0,3; q₃=0,1; q₄=0,4.

 

Упражнение 2.

 

В условиях задачи «Поставка товаров», найти чистую стратегию, оптималь­ную по критерию Байеса относительно рисков, если вероятности состояний при-роды известны и равны: q₁=0,2; q₂=0,3; q₃=0,1; q₄=0,4.

Упражнение 3.

 

Рассматривая задачу «Поставка товаров» как игру с природой с неизвестными вероятностями состояний природы, найти чистую стратегию, оптимальную по критерию Лапласа относительно выигрышей.

Упражнение 4.

 

Рассматривая задачу «Поставка товаров» как игру с природой с неизвестными вероятностями состояний природы, найти чистую стратегию, оптимальную по критерию Лапласа относительно рисков.

Упражнение 5.

Рассматривая задачу «Поставка товаров» как игру с природой, вероятности состояний которой образуют строго убывающую последовательность, пропор­циональную убывающей арифметической прогрессии:

 

q₁: q₂ : q₃ : q₄ = 4:3:2:1,

 

найти чистую стратегию, оптимальную по критерию относительных значений ве­роятностей состояний природы с учетом выигрышей.

 

Упражнение 6.

 

Рассматривая задачу «Поставка товаров» как игру с природой, неизвестные вероятности состояний которой образуют строго убывающую последователь­ность, пропорциональную убывающей

 

q₁: q₂ : q₃ : q₄ = 4:3:2:1,

 

арифметической прогрессии найти чистую стратегию, оптимальную по критерию относительных значений вероятностей состояний природы с учетом рисков.