Критерий Байеса относительно выигрыша (К1).

Пусть задана игра ис природой

	П1	…	Пn
A1
…		aij
An
qi	q1		qn

 

Определение:

Показателем эффективности стратегии А_i называется величина

Стратегия игрока называется максимальной, если показатель эффективности ее максимален. A_i0 – оптимальна (в соответствии с К1) => max ā_i = ā_i0.

Определение:

Выигрыш игрока при использовании им смешанной стратегии P=

 

Равен

Определение:

Показателем эффективности игрока А (в соответствии с К1) называется величина

 

Определение:

Стратегия P⁰ игрока А назыается оптимальной на множестве S_a (в соответствии с К1) если

Теорема.

Если стратегия А_io оптимальна на множестве чистых стратегий S^c_a (в соответствии с К1), то она оптимальна и на множестве смешанных стратегий S_a (в соответствии с К1).

Доказательство.

Если верно, что , то =>

Т.к. .

 

Критерий Байеса относительно риска (К2).

Определение:

Показателем неэффективности А_i (в соответствии с К2) есть величина

, ║r_ij║ = R_a.

Стратегия А_i0 игрока А называется оптимальной, если

Определение:

Риском, при использовании игроком А стратегии P и при П_i называется:

 

Определение:

Показатель эффективности стратегии В игрока А (в соответствии с К2) называется величина:

Определение:

Смешанные стратегии P₀ игрока А называется оптимальной (в соответствии с К2), если

 

Теорема.

Стратегия А_io игрока А, оптимальная (в соответствии с К2) на множестве S^c_А (множество рисков), будет оптимальной и на S_А (множество смешанных стратегий).

 

Доказательство:

Докажем это неравенство в другую сторону.

Пусть ,

Итак,

≤

 

Теорема об эквивалентности К1 и К2.

Рассмотрим показатели эффективности стратегий относительно риска:

достигает своего минимума если достигает своего максимума.

 

Критерий Лапласса относительно выигрыша/риска.

Все состояния природы считаются равновероятными.

, j = 1,..., n

Далее, все формулировки аналогичны критериям Байеса.

Критерий относительных значений вероятностей состояний природы с учетом рисков. Так же, как и в случае предыдущего критерия располагаем неизвестные вероятности состояний природы в виде монотонной последовательности пропорционально последовательности положительных чисел τ₁,..., τ_n, т.е. имеем равенство (2.20.27), из которого для вероятностей q_i, i=1,…, n, выводим формулу (2.20.31)

Критерий Байеса относительно рисков при вероятностях состояний природы (2.20.31) назовем критерием относительных значений вероятностей состояний природы с учетом рисков. При этом показатель неэффективности стратегии подсчитывается по формуле (2.20.10), вероятности q_i,..., q_n в которой представлены формулой (2.20.31):

(2.20.38)

где r_ij - риски, заполняющие матрицу (2.20.9).

Поскольку величина не зависит от номера i=l,..., n, то в качестве показателя неэффективности стратегии А_i,- поданному критерию можно рассматривать величину

(2.30.29)

Оптимальной среди чистых стратегий по обсуждаемому критерию является
стратегия с минимальным показателем неэффективности (2.20.39).

Показателем неэффективности смешанной стратегии P=(p_i,..., р_m) по рассматриваемому критерию является величина , определяемая формулой (2.20.13), в которой вероятности q_j, j=l,.., n, задаются формулой (2.20.31):

(2.20.40)

где риск r(P, П_j) применения смешанной стратегий Р при состоянии природы П_j определяется формулой (2.20.12).

Оптимальной среди всех смешанных стратеги Р множества S_A по данному критерию является стратегия, для которой показатель неэффективности (2.20.40) минимален.

 

 

Теорема 2.20.2 при вероятностях состояний природы (2.20.31) говорит о том, что чистая стратегия, оптимальная среди чистых по критерию относительных значений вероятностей состояний природы с учетом рисков является оптимальной по тому же критерию и среди всех смешанных стратегий.

Пример 2.20.6. В условиях примера 2.20.5 найдем оптимальную стратегию по критерию относительных значений вероятностей состояний природы с учетом рисков.

Выпишем матрицу рисков (2.20.26) (без последнего столбца) для платежной матрицы (2.20.37) (без последнего столбца) и добавим к ней столбец показателей неэффективности стратегий r_i, вычисленных по формуле (2.20.39):

Ai \ Пj	П1	П2	П3	П4
A1
A2
A3
A4

 

(2.20.41)

Так, например, =4*7+3*1+2*6+1*4=47.

Из последнего столбца матрицы (2.20.41) мы видим, что

минимальным показателем неэффективности =12 обладает стратегия А₃ и, значит, она по критерию относительных значении вероятностей состояний природы с учетом рисков является оптимальной.

Результаты в примерах 2.20.5 и 2.20.6 совпадают. Теорема 2.20.3 при вероятностях состояний природы, вычисляемых по формуле (2.20.31), показывает, что это не случайность, а именно показывает, что критерии относительных значений вероятностей состояний природы с учетом выигрышей и с учетом рисков эквивалентны. Для лучшей обозримости сведем рассмотренные в этом параграфе критерии в таблице.

Таблица 2.20.1

Критерии относительно выигрышей

№№ п/п	Критерий	Вероятности состояний природы	Показатель эффективности стратегии
1B	Критерий Бейса относительно выигрышей
2B	Критерий Лапласа относительно выигрышей
3B	Критерий относительный значений вероятностей

 

По каждому из этих критериев оптимальной является стратегия , показатель эффективности которой , т.е. = . Очевидно, что каждый из этих критериев является по существу критерием Байеса относительно выигрышей и отличаются они друг от друга лишь способом добывания информации о вероятностях состояний природы.

По каждому из этих критериев является стратегия показатель

неэффективности который минимален, т.е. = .

Каждый из этих критериев является критерием Байеса относительно рисков и отличаются они друг от друга только способом получения информации о вероятностях состояний природы.

Таблица 2.20.21

Критерии относительно рисков состояний природы с учетом рисков

№№ п/п	Критерий	Вероятности состояний природы	Показатель эффективности стратегии
1P	Критерий Бейса относительно рисков
2P	Критерий Лапласа относительно рисков
3P	Критерий относительный значений вероятностей состояний природы с учетом рисков

 

Наконец, напомним, что, как следует из теоремы 2.20.3, критерии 1_В, 2_В, 3_В эк­вивалентны соответственно критериям 1_р,2_р,3_р.

Заканчивая обсуждение способов принятия решения в условиях риска, мы видим, что информация о вероятностях состояний природы может быть как объективной, так и субъективной. Оптимальные стратегии, определенные на основе субъективной оценки вероятностей состояний природы, в общем случае также оказываются субъективными. Степень субъективности оптимальных решений можно уменьшить, если вероятности состояний природы, назначенные одним экспертом, заменить на средние вероятностей, назначенных различными экспер­тами независимо друг от друга.

 

 

ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

В предыдущей лекции мы рассмотрели подходы к принятию решений в условиях риска, т.е. в условиях, когда мы существенно использовали вероятности состояний природы, добытые тем или иным путем.

В настоящем параграфе мы обсудим некоторые критерии принятия оптималь­ных решений в условиях неопределенности, т.е. когда вероятности, с которыми природа может принимать то или иное состояние, неизвестны и отсутствует вся­кая возможность получения о них какой-либо статистической информации.

Пусть в игре с природой П игрок А обладает m возможными чистыми страте­гиями А₁...,А_m, а природа П может находится в одном из n состояний П₁..., П_n. Пусть (20.1) является матрицей выигрышей игрока А.

Обобщенный критерий пессимизма-оптимизма Гурвица относительно выигрышей с коэффициентами λ₁,λ₂,λ₃,…λ_n.

Переставим выигрыши а_i1,а_i2,...,а_in при каждой стратегии A_i, (т.е. элементы каждой строки матрицы (2.20.1)), расположив их в неубывающем порядке, и обо­значим элементы полученной матрицы через b_ij, а саму матрицу — через B:

Bi \ j			…	n
B1	b11	b12	…	b1n
B2	b21	b21	…	b2n
…	…	…	…	…
Bm	bm1	bm2	…	bmn

 

B =

 

 

Таким образом,

(2.21.1)

 

Каждая строка B _i матрицы В является перестановкой выигрышей при страте­гии A_i, (i = 1,..., m). Не исключена возможность, что для некоторых номеров i и j будет иметь место равенство b_ij = a_ij. В силу неравенств (2.21.1), в первом столбце матрицы В стоят минимальные выигрыши при каждой стратегии

(2.21.2)

а в последнем n-м столбце — максимальные выигрыши при каждой стратегии

(2.21.3)

Пусть числа λ₁,λ₂,λ₃,…λ_n, удовлетворяют условиям

 

и (2.21.4)

Показателем эффективности стратегии А_i по рассматриваемому критерию назовем число

(2.21.5)

Из этого определения видно, что показатель эффективности стратегии А_i, учи­тывает все выигрыши при этой стратегии b_i1,..., b_in и зависит от чисел λ_i,j=1,..., n, удовлетворяющих условиям (2.21.4).

Выражение (2.21.5) является выпуклой комбинацией выигрышей ни строки матрицы В с коэффициентами λ_i,j=1,..., n,. В обозначении можно было бы не указывать один из коэффициентов, например, λ₁, поскольку он одно­значно определяется остальными n-1 коэффициентами из нормировочного ра­венства (2.21.4).

Обобщенным критерием пессимизма-оптимизма Гурвица относительно выигрышей с коэффициентами назовем критерий, по которому опти­мальной среди чистых стратегий считается стратегия . с максимальным пока­зателем эффективности (2.21.5), т.е.

 

 

Числа

 

и (2.21.6)

назовем показателями соответственно пессимизма и оптимизма. В обозначе­ниях (2.21.6) индекс «р» — первая буква английского pessimism [, pesi'mizm], ин­декс «о» — первая буква английского optimism ['optimizm], a — целая часть числа , т.е. наибольшее целое число, непревосходящее числа n/2; очевидно, что

 

 

, если n-число четное ( 2)

 

, если n-число нечетное ( 2)

 

 

Коэффициенты λ₁,λ₂,λ₃,…λ_n выбираются из субъективных соображений следующим образом: чем опаснее ситуация, тем больше возникает желание в ней подстраховаться, тем больше, т.е. ближе к единице, должен быть коэффициент пессимизма λ_p (см. 2.21.6) и, следовательно, тем меньше, т.е. ближе к нулю, будет коэффициент оптимизма λ_o. В безопасной ситуации коэффициенты λ₁,λ₂,λ₃,…λ_n выбираются так, чтобы показатель пессимизма λ_p был ближе к нулю, а показатель оптимизма λ_o— ближе к единице. Таким образом, показатели пессимизма λ_p и оптимизма λ_o в данном критерии выражают количественную меру соответственно пессимизма и оптимизма игрока A, выбирающего коэффициенты λ₁,…λ_n.

Если показатель оптимизма λ_o > 1/2 и, следовательно показатель пессимизма λ_p< < 1/2, то критерий более «оптимистический», чем «пессимистический»; если, наоборот, показатель оптимизма λ_o < ½ и, следовательно показатель пессимизма λ_р > ½, то критерий более пессимистический чем оптимистический; если же показатели оптимизма и пессимизма равны: λ_o=λ_р=1/2, то критерий можно считать реалистическим.

Чуть позже мы предложим некоторый формализованный метод выбора коэффициентов λ₁,λ₂,λ₃,…λ_n, учитывающий все выигрыши игрока А.

Если b_ij=a_ij для всех i=1,...,n и j=1,...,n, т.е. если матрица В совпадает с матрицей (2.20.1), то коэффициенты λ₁,…λ_n, можно формально интерпретировать как вероятности состояний природы: q₁=λ₁...,q_n=λ_n, и тогда показатель эффективности стратегии A_i, по обобщенному критерию Гурвица относительно выигрышей, определяемый формулой (2.21.5), превращается в показатель эффектив­ности стратегии A_i по критерию Байеса относительно выигрышей, вычисляемый по формуле (2.20.2): . Следовательно, в этом случае, обобщенный критерий Гурвица относительно выигрышей превращается в критерий Байеса относительно выигрышей.

Если коэффициенты , то их можно формально трактовать как вероятности равновероятных состояний природы и из (2.21.5) получим:

Но поскольку b_i1,...,b_in есть перестановка элементов a_i1,...,a_in i-строки матрицы (2.20.1), то и, следовательно,

т.е. показатель эффективности стратегии A_i по обобщенному критерию Гурвица относительно выигрышей совпадает, как это следует из равенства (2.20.23), с по­казателем эффективности стратегии A_i - по критерию Лапласа относительно выиг­рышей. Значит, обобщенный критерий пессимизма-оптимизма Гурвица относи­тельно выигрышей с равными коэффициентами λ₁=…= λ_n=1/2, превращается в критерий Лапласа относительно выигрышей.

Критерий Вальда (критерий крайнего пессимизма).

Критерий Вальда есть частный случай обобщенного критерия Гурвица относительно выигрышей со специальными коэффициентами

λ₁=1,λ₂=0…= λ_n=0 (2.21.7)

которые, очевидно, удовлетворяют условиям (21.4).

Подставляя значения коэффициентов (2.21.7) в формулу (2.21.5) и учитывая (2.21.2), получим показатель эффективности стратегии А_i- по критерию Вальда:

(2.21.8)

представляющий собой минимальный выигрыш игрока А при применении им стратегии A_i. Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Вальда является, таким образом, стратегия , имеющая максимальный показатель эффективности (2.21.8):

Другими словами, оптимальной среди чистых стратегий по критерию Вальда считается та чистая стратегия, при которой минимальный выигрыш является мак­симальным среди минимальных выигрышей всех чистых стратегий. Таким обра­зом, оптимальная стратегия по критерию Вальда гарантирует при любых состоя­ниях природы выигрыш, не меньший, чем максимин

Из (2.21.7) и (2.21.6) получаем, что для критерия Вальда показатель пессимизма λ_р=1 а показатель оптимизма λ_о=0. Это говорит о том, что критерий Вальца являет­ся критерием крайнего пессимизма, ибо ориентирует игрока А на наихудшие для не­го состояния природы и, следовательно, на крайне осторожное, осмотрительное по­ведение при выборе стратегий. Хотя арабская пословица и гласит «Кто боится соб­ственной тени, тому нет места под солнцем», тем не менее этот критерий уместен в тех случаях, когда игрок А не столько хочет выиграть, сколько не хочет проиграть. Принципом критерия Вальда часто пользуются в обиходе, что подтверждается та­кими поговорками, как «Семь раз отмерь—один раз отрежь», «Береженного бог бережет», «Лучше синица в руках, чем журавль в небе».

Максимаксный критерий (критерий крайнего оптимизма). Противоположностью критерию Вальда является так называемый максимаксный критерий, представляющий собой также частный случай обобщенного кри­терия Гурвица относительно выигрышей, когда коэффициенты λ₁,λ₂,…, λ_n выби­раются следующим образом:

 

λ₁=…=λ_n-1=0, λ_n=1 (2.21.9)

 

Коэффициенты (2.21.9) удовлетворяют условиям (2.21.4). Если эти коэффици­енты подставить в (2.21.5) и учесть (2.21.3), то получим формулу для показателя эффективности стратегии A_i, по максимаксному критерию:

(2.21.10)

Значит, в качестве показателя эффективности стратегии A_i по максимаксному критерию выбирается максимальный выигрыш при этой стратегии.

Тогда оптимальной среди чистых стратегий по максимаксному критерию яв­ляется стратегия с максимальным показателем эффективности„(2.21.10):

т.е. стратегия, максимальный выигрыш при которой максимален среди макси­мальных выигрышей всех чистых стратегий. По-другому можно сказать, что оп­тимальной будет та чистая стратегия, при которой (хотя-бы) один из выигрышей

 

 

является максимальным среди выигрышей всех чистых стратегии. Оптимальная по максимаксному критерию стратегия гарантирует игроку А возможность наибольшего выигрыша, равного максимаксу

Подставляя коэффициенты (2.21.9) в (2.21.6), найдем для максимаксного критерия показатель пессимизма λ _p =0 и показатель оптимизма λ _o =1. Таким образом, максимаксный критерий является критерием крайнего оптимизма, так как ориентирует лицо, принимающее решение, (игрока А) на наилучшие, благоприятнейшие для него состояния природы и, как следствие отсюда — на порой неоправданно легкомысленное, шапкозакидательское поведение при выборе стратегий. Вместе с тем, в некоторых случаях этим критерием пользуются осознанно, например, в ситуации, когда перед игроком А стоит дилемма: либо получить наибольший выигрыш, либо стать банкротом.

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица относительно выигрышей, с показателем оптимизма

Данный критерий является как бы промежуточным между критериями крайнего пессимизма и крайнего оптимизма и представляет собой частный случай обобщенного критерия Гурвица относительно выигрышей с коэффициентами

(2.21.11)

удовлетворяющими, очевидно, условиям (2.21.4).

Из (2.21.11), (2.21.5), (2.21.2) и (2.21.3) следует, что показателем эффективности стратегии А, по рассматриваемому критерию является величина

(2.21.12)

Оптимальной же стратегией по этому критерию считается стратегия А _{i 0} с максимальным показателем эффективности (2.21.12):

Из (2.21.11) и (2.21.6) получаем, что показатели пессимизма и оптимизма в этом критерии равны соответственно λ _р =1-λ и λ _o =λ. При λ=0 мы из критерия Гурвица получаем критерий Вальда, а при λ=1 — максимаксный критерий. Чем ближе к нулю показатель оптимизма λ, тем ближе к единице показатель пессимизма 1-λ, и тем меньше оптимизма и больше пессимизма. И наоборот, чем ближе λ к единице, тем больше оптимизма и меньше пессимизма. Если показатель оптимизма , то и показатель пессимизма . В этом случае показатель эффективности стратегии А_i, как следует из формулы (2.21.12), примет вид:

(2.21.13)

а так как множитель 1/2 в правей части этого равенства не зависит oт номера i, то в качестве показателя эффективности стратегии А _i по критерию пессимизма-оптимизма Гурвица относительно выигрышей с показателем оптимизма λ=1/2 можно рассмотреть правую часть равенства (2.21.13) без коэффициента 1/2:

Отметим, что критерий Вальда, максимаксный критерий и критерий пессимизма-оптимизма Гурвица относительно выигрышей с показателем оптимизма не учитывают всех выигрышей игрока А при каждой его стратегии: критерий Вальда принимает во внимание только минимальные выигрыши при каждой стратегии, максимаксный критерий учитывает лишь максимальные выигрыши при каждой стратегии, а критерий пессимизма-оптимизма Гурвица относительно выигрышей с показателем оптимизма опирается на минимальные и максимальные выигрыши. В отличие от этого обобщенный критерий Гурвица учитывает все выигрыши при каждой стратегии игрока А, используя тем самым полную информацию об игре, поскольку вся имеющаяся информация об игре с природой в условиях неопределенности содержится в матрице выигрышей игрока A.

Перейдем к вопросу о формализации метода выбора коэффициентов λ₁, λ₂,..., λ _n в обобщенном критерии Гурвица относительно выигрышей.

Пусть

(2.21.14)

— сумма выигрышей, стоящих в j -м столбце матрицы В;

(2.21.15)

— среднее значение выигрышей b_{i j}, стоящих в j-м столбце матрицы В;

(2.21.16)

— сумма всех выигрышей матрицы В, или, что то же, сумма всех выигрышей матрицы А (см. (2.20.1)).

Просуммировав неравенства (2.21.1) по индексу i от 1 до m, получим с учетом обозначений (2.21.14):

откуда, в обозначениях (2.21.15):

(2.21.17)

В случае опасной ситуации выбор стратегии игроком А должен быть осторожным, «направленным» в сторону убывания выигрышей. Поэтому коэффициенты λ _j по мере убывания выигрышей должны возрастать. Учитывая (2.21.17), эти коэффициенты можно выбрать обратно пропорциональными средним выигрышам (21.15):

(2.21.18)

Так как неравенства (2.21.17) можно переписать так:

то принцип (2.21.18) выбора коэффициентов λ _j, j =1,..., n, можно назвать «принципом невозрастания средних выигрышей».

Выразим коэффициенты λ _j , j =1,..., n, через выигрыши b_ij.

Из (2.21.18):

откуда

(2.21.19)

Подставляя эти выражения в нормировочное равенство (2.21.4), получим

,

откуда

или, в силу (2.21.15) и (2.21.16):

Подставляя найденное значение λ₁ в (2.21.19) и используя (2.21.15), будем иметь:

(2.21.20)

Таким образом, выбирая в опасной ситуации коэффициенты λ _j, j =1,..., n, в соответствии с принципом невозрастания средних выигрышей, мы видим, что j -й коэффициент λ _j представляет собой отношение суммы b_{n - j +1} элементов b_{i , n - j +1}, i =1,.... m, стоящих в (n - j +1)-м столбце матрицы B, к сумме b всех ее элементов, т.е. коэффициент λ _j есть доля суммы элементов (n - j +1)-го столбца в сумме всех элементов матрицы В.

В случае безопасной ситуации коэффициенты λ _j при возрастании выигрышей должны возрастать; поэтому их можно выбрать по «принципу неубывания средних выигрышей» прямо пропорционально средним выигрышам (2.21.15):

Аналогичным способом можно показать, что в данном случае коэффициенты λ _j выражаются через выигрыши следующим образом:

(2.21.21)

 

Распространим критерий Гурвица относительно выигрышей, а значит и его частные случаи — критерии Вальда и максимаксный критерий, на смешанные стратегии.

Пусть S_A - множество всех смешанных (в том числе и чистых) стратегий игрока A и Р =(р ₁,…, p_m) — некоторая смешанная стратегия игрока А из множества . Тогда выигрыш игрока А при применении им смешанной стратегии P =(p ₁,…, p_m), соответствующий состоянию природы П_j, равен

(2.21.26)

где a_{i j}, i =1,…, m; j =1,…, n, — элементы матрицы (2.20.1).

Показателем эффективности смешанной стратегии Р = (p ₁,..., p_m) по критерию пессимизма-оптимизма Гурвица относительно выигрышей с показателем оптимизма назовем число

(2.21.27)

где

и

— соответственно минимальный и максимальный выигрыши игрока А при использовании им смешанной стратегии Р.

Так как каждой смешанной стратегии Р соответствуют единственные значения минимального и максимального выигрышей, то W(P) и М(Р), а, следовательно, и G(P; λ), являются числовыми функциями векторного аргумента Р = (p ₁,..., p_m) определенными на множестве S_A.

Если, в частности, смешанная стратегия Р = (p ₁,..., p_m) является чистой А_k, то p_i = 0 при i ≠ к, и р_k =1; следовательно, по формуле (2.21.26), H (P, П_j) = Н (А_к, П_j) = a_kj и показатель эффективности G (P; λ) превращается в показатель эффективности G_k(λ) чистой стратегии А_k, определяемый формулой (2.21.12) при i = k.

Оптимальной среди всех смешанных стратегий множества S_A по критерию пессимизма-оптимизма Гурвица относительно выигрышей с показателем оптимизма назовем стратегию с максимальным показателем эффективности G(P; λ):

(2.21.28)

В связи с бесконечностью множества S_A встает вопрос о существовании определяемой формулой (2.21.28) оптимальной стратегии Р ⁰, т.е. о достижимости функцией G (P; λ) своей верхней грани на множестве S_A. Ответ на этот вопрос положителен. Для доказательства этого сначала докажем непрерывность функций W (P) и М (Р) на множестве S_A.

Функция H (P, П_j), задаваемая формулой (2.21.26), линейна и, следовательно, непрерывна по аргументу P на множестве S_A, т.е. для любого ɛ>0 найдется δ _j >0, зависящее от ɛ, номера j и точки P, такое, что для любой точки , отстоящей от точки P на расстоянии, не большем чем δ _j: ρ(P, U) ≤ δ _j, справедливо неравенство

 

которое можно переписать так _:

или так:

. (2.21.29)

Под paccтоянием понимается обычное евклидово paccтояние в пространстве Rm, определяемое формулой

Eсли точка такова, что

(2.21.30)

то неравенство ,будет выполняться для каждого j = 1,..., n, и, следовательно, для каждого j = 1,..., n, 6yдут выполняться неравенства (2.21.29).

Taк как

то из левого неравенства (2.21.29) получим:

B частности последнее неравенство будет выполняться для того номера j, который доставляет функции минимум, т.е.

Из этого неравенства и правого неравенства (2.21.29) будем иметь:

В частности, справедливы неравенства

которые можно переписать следующим образом:

или

(2.21.31)

Taким o6paзом, mы noказали, что для любого найдётся такое, что из неравенства (2.21.30) следует неравенство (2.21.31). Это означает, что функция W(P) нeпpepывна b каждой точке P множества S _A, T.e. нeпpepывна нa мhoжестве S_A.

Доказательство непрерывности на множестве S_A функции M(P) проводиться аналогично, в силу непрерывности функции H(P, n_j) пo apryментy P нa мнoжестве S_A, для любого найдётся тaкoe, что для любой точки , удовлетворяющей нepaвeнствy (2.21.30), 6yдут выполняться нepaвeнствa (2.21.29) для каждого j = 1,..., n. Из пpaвoгo нepaвeнствa (2.21.29) получим:

Так как это неравенство верно для любого j = 1,..., n, to, b частности, имеем

Отсюда и из левого неравенства (2.21.29) получим:

Поскольку полученное неравенство имеет место для каждого j = 1,..., n, to справедливо неравенство

из котoporo вытекает неравенство

.

Этим доказана непрерывность функции M(P) нa множестве S_A. Из Heпpepывности функций W(P) h M(P) следует нeпpepывность функции кaк cyммы нeпpepывых функций и .

Taк кaк мнoжество S_A является симплексом (cm. § 2.7), то oho замкнуто и ограничено (o6ocновaние этого факта cm. b доказательстве теоремы 2.8.1). Следовательно, по теореме Вейерштрасса [6. C. 274], нeпpepывная функция достигает на множестве S_A своей верхней грани, т.e. найдётся стратегия , удовлетворяющая равенству (2.21.28).

При из формулы (2.21.27) полу