Группа подобия и ее подгруппы.

Пусть P – множество всех преобразований подобия плоскости, и на нем задана некоторая операция «∙».

Множество Р является группой относительно этой операции.

Действительно:

• Если f , f P, то f ∙ f P;
• Если f P, то f P.
• Основным инвариантом группы является мера угла.

Подобие первого рода образует подгруппу группы Р. Множество гомотетий с коэффициентом k (равным коэффициенту подобия) образует подгруппу группы Р.

Множество подобий второго рода не образует подгруппу, т.к. произведение подобий второго рода дает подобие первого рода.

Основные вопросы методики изучения преобразования фигур в основной школе.

Учащиеся знакомы с реальными предметами, дающими наглядное представление о подобных фигурах (географические карты) Основная цель изучения преобразования подобия – сформировать понятие подобных треугольников, выработать умение применять признаки подобия треугольников.

А.В.Погорелов – 9 класс тема «Подобие фигур» (17ч) Л.С.Атанасян – 8 класс тема «Подобные треугольники» (19ч) И.Ф.Шарыгин – 8 класс тема «Подобие» (20ч)

По А.В. Погорелову на изучение подобия фигур отводится 17 часов. Изучается в 9 классах до изучения тем площади. Подобие фигур разделено на 9 тем. В конце главы вводится углы, вписанные в окружность и пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности. В начале дается понятие гомотетии и подобии фигур. Затем рассматривается подобие треугольников, признаки подобия треугольников, подобие прямоугольных треугольников.

Определение (А.В. Погорелов). Преобразование фигур F называется преобразованием подобия если при этом преобразование расстояния между точками изменяется в одно и то же число раз, то есть для любых двух точек X и Y фигуры F и точки X’ и Y’ фигуры F’, в которые они переходят, XY=кXY’.

Две фигуры называются подобными, если они переводятся одна в другую преобразованием подобия.

Признаки подобия треугольников. Два треугольника подобны, если:все их соответственные углы равны (достаточно равенство двух углов);все их стороны пропорциональны;две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключенные между этими сторонами, равны.

Два прямоугольных треугольника подобны, если:их катеты пропорциональны;катет и гипотенуза одного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого;два угла треугольника равны двум углам другого.

Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их диаметров (или радиусов).

По Л.С. Атанасяну в главе 7 подобные треугольники отводится 19 часов. Основное внимание в главе уделено подобным треугольникам. Изучается в 8 классах после глав четырехугольники и площади.

Определение подобных треугольников дается на основе теоремы об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, весьма просто доказываются признаки подобия треугольников. Они широко используются в курсе геометрии. Кроме того, материал, связанный с подобием, позволяет содержательно реализовать межпредметные связи с алгеброй (пропорциональность, уравнения, квадратные корни) и с физикой (например, геометрическая оптика). В конце главы вводится синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

При изучении данной темы нужно иметь в виду, что свойства подобных фигур будут многократно применяться при дальнейшем изучении курса геометрии. Поэтому следует уделить значительное внимание и время решению задач, направленных на формирование умений доказывать подобие треугольников с использованием признаков и вычислять элементы подобных треугольников.

При изучении признаков подобия достаточно доказать два признака, так как первый доказывается с опорой на теорему об отношении площадей треугольников, имеющих равные углы, а доказательства двух других аналогичны. Применение метода подобия треугольников к доказательствам теорем учащиеся изучают на примере теоремы о средней линии треугольника. С учащимися интересующимися математикой можно рассмотреть задачи на построение методом подобия.

После изучения подобных треугольников рассматривается вопрос о подобии произвольных фигур на интуитивной основе.

В курсе стереометрии в начале 11 класса 9 в параграфе «Преобразование подобия» (не обязательный пункт для изучения на базовом уровне) дается следующее определение (Л.С. Атанасян): Преобразования подобия с коэффициентом к >0 называется отображение пространства на себя. При котором любые точки А и В переходят в такие точки А₁, В₁, что А₁=кВ₁.

Два тела называются подобными, если существует такое преобразование подобия, при котором одно из них переходит в другое.

Таким образом, мы рассмотрели два способа изучения подобия треугольников: можно рассмотреть подобные треугольники как частные случаи подобных фигур (А.В.Погорелов) или можно определить подобные треугольники как треугольники, имеющие соответственно пропорциональные стороны и соответственно равные углы (Л.С.Атанасян).

 

7.9 Аффинные преобразования плоскости. Группа аффинных преобразований и ее подгруппы. Различные подходы к введению понятия преобразования фигур в основной школе.

Аффинные преобразования плоскости.

Определение. Преобразование плоскости называется аффинным, если оно любые три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, переводит в три точки A’,B’,C’ (A A’, B B’, C C’), лежащие на одной прямой, и при этом сохраняется простое отношение трех точек: (А, В, С)=(A’, B’, C’)= .

Теорема. Рассмотрим любые два аффинных преобразования . Если для любых двух точек то для любой точки М прямой АВ () выполняется равенство: .

Основная теорема. Пусть R= и R’= – любые два репера плоскости . Тогда существует единственное аффинное преобразование , которое переводит репер R и R’ и при этом любая точка М с координатами (х,у) в репере R переходит в точку М’ с теми же координатами в репере R’ ().

Доказательство: существование. Построим преобразование по закону , тогда – биекция, а значит - преобразование плоскости . На произвольной прямой рассмотрим любые три точки: , , . По заданному закону: , , . Пусть , тогда . Но по введенному закону эти же соотношения сохраняются и для точек (координаты точек в репере R’ – те же числа, что и в репере R), следовательно, все три точки лежат на одной прямой откуда (по определению) - аффинное преобразование плоскости .

Теорема. Любое аффинное преобразование плоскости либо сохраняет ориентацию плоскости, либо меняет ориентацию.

Аналитическое выражение аффинного преобразования плоскости.

Теорема. Преобразование плоскости - аффинное преобразование тогда и только тогда, когда в некоторой АСК преобразование задано аналитически:

.

Свойства аффинных преобразований:

1. Прямая переходит в прямую, отрезок – в отрезок, луч – в луч, полуплоскость – в полуплоскость, угол – в угол, параллельные прямые – в параллельные прямые.

2. Сохраняется простое отношение в трех точек, а следовательно, середина отрезка переходит в середину отрезка.

3. Любое аффинное преобразование либо сохраняет ориентацию плоскости (преобразование 1 рода), либо меняет ориентацию (преобразование 2 рода).

Группа аффинных преобразований и ее подгруппы.

Теорема. Обозначим через - множество всех аффинных преобразований плоскости . Обозначим - композицию данных преобразований. Пара (А, ) – группа.

Группа (А, ) называется группой аффинных преобразований плоскости. Основной инвариант этой группы – простое отношение трех точек.

Подгруппы группы А.

1. – множество всех аффинных преобразований 1 рода.

2. - множество всех аффинных преобразований, для которых - неподвижная точка.

Аффинные преобразования плоскости, обладающие единственной неподвижной точкой, называется центроаффинными.

3. А(l) – множество всех аффинных преобразований, для которых l – прямая неподвижных точек.

4. Р – подобие.

5. D – движение.

6. множество всех аффинных преобразований, сохраняющих площадь S фигуры . Такие аффинные преобразования называют эквиаффинными, а данную подгруппу – эквиаффинной подгруппой аффинной группы.

 

Различные подходы к введению понятия преобразования фигур в основной школе.