Методика изучения темы:«Параллельность прямых и плоскостей».

Мотивом изучения темы «Параллельность прямых и плоскостей» является развитие абстрактного мышления и развитие кругозора школьников. Данную тему рассматривают в 10 классе в главе «параллельность прямых и плоскостей».

Ожидаемые результаты включают в себя: 1) Знать какие прямые в пространстве называются параллельными, скрещивающимися, признак параллельности прямых, признак параллельности прямой и плоскости, признак параллельности плоскостей; 2) Уметь решать стандартные задачи на нахождение и построение; 3) Иметь представление о параллельных прямых в пространстве, о существовании плоскости параллельной данной плоскости, об изображении пространственных фигур на плоскости.

Учебники: Л.С. Атанасян и др. «Геометрия 10-11», А.В. Погорелов «Геометрия 7-11», А.Д. Александров «Геометрия 10-11».

Теме «Параллельность прямых и плоскостей» в учебнике Атанасяна посвящена целая глава, а в учебниках Погорелова и Александрова по одному параграфу, хотя в целом разбираются одни и те же вопросы. Материал темы во всех учебниках изложен индуктивным методом.

Понятийный аппарат: 1) Параллельные прямые; 2) Параллельность прямой и плоскости;

3) Скрещивающиеся прямые; 4) Параллельные плоскости.

Утверждения темы: 1) Теорема единственности существования параллельной прямой; 2) Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми; 3) Теорема о параллельности двух прямых относительно третьей; 4) Теорема о параллельности прямой и плоскости; 5) Теорема о скрещивающихся прямых; 6) Теорема единственности прохождения плоскости через каждую из двух скрещивающихся прямых; 7) Теорема равенства углов сонаправленных сторон; 8) Теорема параллельности плоскостей относительно пересекающихся прямых.

7.6 Различные способы задания прямой в пространстве, взаимное расположение прямых. Расстояние от точки до прямой. Угол между двумя прямыми, между прямой и плоскостью. Методика изучения темы: «Перпендикулярность прямых и плоскостей».

Опр. Если , следовательно и всеV₁(), называют направляющим вектором прямой (направляющее одномерное векторное пространство).

Т. Прямая в пространстве однозначно задаётся 2-мя произвольными точками:

1) 2) ,

3)Если две плоскости имеют общую точку, то все общие точки принадлежат прямой.

Различные способы задания прямой:

1. Векторное (векторно-параметрическое уравнение прямой)

1) а=(М₀, ) (1’)

(1)

Опр. Формулы (1) и (1’) – векторные или векторно-параметрические уравнения прямых, а переменная t– параметр.

2. Параметрическое уравнение прямой (2)

x

z (x,y,z), z₀ (x₀,y₀,z₀)

из(1’)→ x = x₀+ta₁

y = y₀+ta₂ (2)

z = z₀+ta₃

3. Каноническое уравнение прямой (3)

а₁≠ 0,а₂ ≠ 0, а₃ ≠ 0

Из (2)→

(3)

4. Уравнение прямой задающееся 2-мя точками M₁M₂ (4)

l= (M_1,M₂)=M₁M₂

(x₂ – x₁;y₂ – y₁;z₂ – z₁)=(a₁, a₂, a₃)

Подставляя в (3) → (4)–уравнение прямой, проходящей через две точки.

5. Уравнение прямой, заданной 2-мя пересекающимися плоскостями

Ранг =2, ,

(5) – уравнение прямой, заданной пересечением 2-х плоскостей .

Т. Если , урав-е (5), то