Числовые ряды. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Знакопеременные ряды. — КиберПедия


Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...

Числовые ряды. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Знакопеременные ряды.



Пусть задана бесконечная последовательность вещественных чисел Построим последовательность: и рассмотрим предел этой последовательности

Он называется числовым рядом, или просто рядом. Если этот предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, или, что ряд существует. Если этот предел равен бесконечности или вообще не существует, то говорят, что ряд расходится, или, что ряд не существует.

Величины An называются частными суммамиряда. Слагаемое an называется общим членомряда. Ряды называются остаткомряда после n-го слагаемого.

Простейшие свойства сходящихся рядов.

1. Если ряд сходится, то сходится любой из его остатков. Наоборот, из сходимости какого-то остатка вытекает сходимость всего ряда. Отсюда следует, что изменение или выбрасывание конечного числачленов ряда не изменяет его сходимости или расходимости.

2. Если ряд сходится, то .

3. Если ряд сходится, то сходится ряд и имеет место равенство .

4. Если ряды и сходятся, то сходится и ряд имеет место равенство

.

5. Если ряд сходится, то . Отсюда следует

Признак расходимости ряда. Если , то ряд расходится.

Признаки сходимости рядов с положительными членами

Пусть дан ряд все слагаемые которого положительны .

Признак Коши. Пусть существует . Тогда

если , то ряд сходится; если , то ряд расходится;

если , то о сходимости или расходимости ряда ничего сказать нельзя.

Признак Даламбера.Пусть существует . Тогда

если , то ряд сходится; если , то ряд расходится;

если , то о сходимости или расходимости ряда ничего сказать нельзя.

Интегральный признак Коши

Пусть f(x) – некоторая функция, определенная на интервале [1, ). Здесь рассматриваются ряды вида , то есть ряды со слагаемыми вида .

Интегральный признак Коши.Пусть при x функция f(x) монотонноубывает до нуля, то есть . Тогда ряд сходится или расходится одновременно с интегралом .

Знакопеременные ряды Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.

Признак ЛейбницаДля знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница. Пусть {an} является числовой последовательностью, такой, чтоan+1<an для всех n;



limn→∞an=0.

Тогда знакочередующиеся ряды ∞∑n=1(−1)nan и ∞∑n=1(−1)n−1an сходятся.

Абсолютная и условная сходимость

Ряд ∞∑n=1an называется абсолютно сходящимся, если ряд ∞∑n=1|an| также сходится.
Если ряд ∞∑n=1an сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.
Ряд ∞∑n=1an называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.






Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...

Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...

Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...

Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...





© cyberpedia.su 2017-2020 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!

0.006 с.