Методика решения задач с помощью дерева

ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Объект исследования: понятие дерево вероятностей, правила построения деревьев при решении задач теории вероятностей.

Результаты, полученные лично автором: обобщение теоретического материала, решение задач с помощью построения дерева вероятностей.

Существуют различные способы решения задач на нахождение вероятности, но наиболее простой и наглядный способ – это построение дерева вероятностей. Деревом вероятностей называется графический метод, который показывает последовательность стратегических решений и предполагаемые последовательности действий при каждом возмож­ном блоке случайных обстоятельств. Иллюстрирует решение рисунок, на котором показаны безусловные и условные вероятности для комбинаций двух и более событий. Дерево вероятностей тесно связано с деревом решений, которое широко используют в финансах и других областях коммерческой деятельности.

Построение дерева начинается с первого решения и продвигается вперед через ряд последовательных событий и решений, при этом вероятностные события обозначаются кружками, а принимаемые решения квадратиками. Ответвления из квадратиков представляют стратегии, а ответвления из кружков - внешние условия. При каждом решении или событии у дерева вероятностей появляются ответвления, которые пока­зывают соответственно возможное направление действий до тех пор, пока, наконец, все логиче­ские последовательности решений и вытекающие из них события не будут вычерчены. Отметим, что ответвления из кружков имеют вероятности, причем сумма вероятностей для всех ответвлений, вытека­ющих из любого кружка, должна равняться единице.

Из формулы полной вероят­ности следует, что для вычисления вероятности события А необ­ходимо осуществить перебор всех путей, ведущих к результиру­ющему событиюА; вычислить и расставить на соответствующих путях вероятности Р(Н_i) того, что движение будет происходить по данному пути, и вероятности того, что на данном пути бу­дет достигнуто конечное событие А. Затем вероятности, стоящие на одном пути, перемножаются, а результаты, полученные для раз­личных путей, складываются.

Каждое из условий может, в свою очередь, делиться на несколько дополнительных условий или гипотез, т.е. на каждом этапе оно допускает неограниченное число ветвлений схемы, поэтому при решении задач более удобно пользоваться не самой формулой полной вероятности, а графической схемой полной вероятности или соответствующим деревом вероятностей.

Для построения дерева вероятностей прежде всего необходимо нарисовать само дерево, затем записать на рисунке всю известную для данной задачи информацию и, наконец, воспользоваться основными правилами, чтобы вычислить недостающие числа и закончить дерево.

1. Вероятности указываются в каждой из конечных точек и обводятся кружочками. На каждом уровне дерева сумма этих вероятностей должна равняться 1 (или 100%).

2. Условные вероятности указываются рядом с каждой из ветвей (кроме, возможно, ветвей первого уровня). Для каждой из групп ветвей, выходящих из одной точки, сумма этих вероятностей также равна 1 (или 100%). Это правило позволяет вычислить одно неизвестное значение условной вероятности в группе ветвей, исходящих из одной точки.

3. Обведенная кругом в начале ветви вероятность, умноженная на условную вероятность рядом с этой ветвью, дает вероятность, записанную в конце ветви. Это правило можно использовать для вычисления одного неизвестного значения вероятности из трех, соответствующих некоторой ветви.

4. Записанное в круге значение вероятности равно сумме обведенных кружками вероятностей на концах всех ветвей, выходящих из этого круга вправо. Это правило позволяет найти одно неизвестное значение вероятности в группе, включающей эту вероятность и все вероятности на концах ветвей дерева, выходящих из соответствующего круга.

Используя эти правила можно, зная все, кроме одного значения вероятности для некоторой ветви или на некотором уровне, находить это неизвестное значение.

Методика была опробована нами при решении задач курса «Теория вероятностей и математическая статистика», а также некоторых экономических задач, что позволило сделать вывод о том, что это достаточно простой и результативный способ решения.

Материал поступил в редколлегию 25.04.17

УДК 519.2

П.Г. Гапонов

Научный руководитель: старший преподаватель кафедры «Высшая математика», к.ф.-м.н. В.А. Андросенко

p.gaponov2010@yandex.ru