Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2017-06-25 | 314 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Объект исследования: последовательности Фибоначчи.
Результаты, полученные авторами лично: исследования области применения последовательности Фибоначчи.
Часто мы имеем дело с математическими теориями, которые имеют определённые доказательства и методы, а также давнюю историю. Одной из таких теорий является теория чисел Фибоначчи.
Последовательность Фибоначчи – это числовая последовательность, которая задана рекуррентным способом. При изучении числовых последовательностей мы сталкиваемся с рекуррентным заданием лишь на примере арифметической и геометрической прогрессий, но изучение таких последовательностей – достаточно увлекательный процесс.
Всем известная более семисот лет «задача о кроликах» стала основанием чисел Фибоначчи. Формально последовательность чисел Фибоначчи задаётся линейным рекуррентным соотношением:
Fn = Fn-1 + Fn-2
Такие последовательности, в которых каждый член определяется как некоторая функция предыдущих, часто встречаются в математике и называются рекуррентными или возвратными последовательностями. У последовательности Фибоначчи начальными членами являются две единицы, либо единица и нуль.
Примерами живой природы, которые могут быть описаны с помощью последовательности Фибоначчи, являются:
· порядок расположения листьев (и веток) у растений – расстояния между ними соотносимы с числами Фибоначчи (филлотаксис);
· расположение семян подсолнуха (располагаются двумя рядами спиралей, закрученных в разном направлении: один ряд по часовой стрелке, другой – против);
· расположение чешуек сосновых шишек;
· лепестки цветов;
· ячейки ананаса;
· соотношение длин фаланг пальцев на человеческой руке и т.д.
|
Это далеко не все примеры из живой природы, подтверждающие данную рекуррентную последовательность. За долгое время найдено немало скрытых свойств чисел Фибоначчи, а интерес к этим последовательностям значительно возрос.
Материал поступил в редколлегию 25.04.17
УДК 512+514
Д.С. Титенок
Научный руководитель: профессор кафедры «Высшая математика»,
к.т.н. А.П. Мысютин
МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОБЪЕМОВ ТЕЛ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
ЭЛЛИПСОИДОВ
Объект исследования: тела, получающиеся в результате пересечения эллипсоидов общего вида.
Результаты, полученные лично автором: определены размеры прямоугольного параллелепипеда, заведомо содержащего тело пересечения, разработана программа вычисления объема тела методом Монте-Карло.
Рассмотрим два эллипсоида общего вида
, (1)
где
Уравнение (1) определяет эллипсоид, если ранг матрицы равен 3, определитель блочной матрицы
меньше нуля и корни уравнения одного знака.
Для определения размеров прямоугольного параллелепипеда, целиком содержащего i -й эллипсоид, находим координаты (N1, N2, N3) нормального вектора касательной плоскости, проведенной в точке (x0, y0, z0) эллипсоида. Они равны с точностью до множителя 2 частным производным первого порядка от функции трех переменных, стоящей в левой части уравнения (1):
(2)
Грани параллелепипеда параллельны координатным плоскостям, поэтому далее рассматриваем последовательно только касательные плоскости вида х = const, y = const, z = const и находим точки касания из решения систем уравнений, в каждую из которых входит уравнение (1). При определении хmin и хmax в указанную систему входят уравнения N2 =0, N3 =0 (нормальный вектор касательной плоскости коллинеарен оси х), при определении у min и у max – уравнения N1 =0, N3 =0, при определении z min и z max – уравнения N1 =0, N2 =0.
Из полученных минимальных и максимальных значений по каждой координате выбираются наименьшее и наибольшее. Эти значения входят в уравнения граней прямоугольного параллелепипеда, целиком содержащего тело пересечения эллипсоидов.
|
Для вычисления объема применим метод Монте-Карло. Выбираем в прямоугольном параллелепипеде n случайных точек. Обозначим через m число точек, попавших внутрь тела пересечения эллипсоидов. Объем этого тела приближенно равен отношению m/n, умноженному на объем параллелепипеда.
Предложенная методика была положена в основу программы на ЭВМ. В качестве тестового примера рассмотрена задача, допускающая аналитическое решение. Определялся объем тела, получающегося в результате пересечения двух эллипсоидов вращения 4 x 2+4 y 2+ z 2–4=0 и x 2+ y 2+9 z 2–9=0. Используя формулы математического анализа для вычисления объемов тел вращения было найдено точное значение объема V =2π(6–(64/105)√70). Или V ≈5,65711.
Расчеты показали, что тело пересечения эллипсоидов заключено внутри куба: –1≤ x ≤1, –1≤ y ≤1, –1≤ z ≤1. Приближенные значения объема в зависимости от числа случайных точек n приведены в таблице
n | ||||||
V | 5,6152 | 5,70256 | 5,67192 | 5,65424 | 5,65524 | 5,65611 |
Результаты свидетельствует о правильности работы алгоритма и эффективности метода Монте-Карло, который часто оказывается единственным численным методом, дающим возможность решить задачу вычисления объема в многомерном пространстве.
Предложенная методика позволяет рассчитывать объем тела, образованного пересечением нескольких эллипсоидов общего вида.
Материал поступил в редколлегию 28.03.2017г.
УДК 519.24
А.В. Филимоненков
Научный руководитель: доцент кафедры «Высшая математика», к.т.н.,
Н.А. Ольшевская
|
|
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!