Усечённое нормальное распределение.

Нормальный закон распределения наиболее часто использу­ется для оценки надежности при постоянном отказе.

Плотность вероятности нормального распределения задана уравнением

Т и σ - параметры закона (закон двухпараметрический).

Т - средняя наработка на отказ

σ - среднеквадратическое отклонение времени безотказной работы.

Так как при нормальном распределении случайная величи­на может принимать значения - ∞ до +∞, а время безотказной работы может быть только положительным, то нужно рассматривать усеченное нормальное распределение с плотностью

где с - нормирующий множитель, который определяется из выражения

и равен

где - табулированная интегральная функция нормального распределения;

- нормированная функция Лапласа.

Средняя наработка до отказа и параметр Т₁ усеченного нормального распределения связаны зависимостью

При коэффициент и усеченное нормальное распределение достаточно точно аппроксимируется обычным нормальным законом.

При испытании выборки объемом n изделий с наработкой t₁, t₂, … t_n параметры T и σ оцениваются из формулы

Доверительные границы средней наработки до отказа опре­деляются по уравнениям

где - квантиль распределения Стьюдента для вероятности α или уровня значимости β = 1 – α и числа степеней свободы f =n – 1.

В случав двухстороннего определения доверительных границ (вспомнив, что α = α₁ + α₂ – 1)

α₁ = α₂ =(α + 1)/2, при этом уровни значимости β₁ = β₂ = (1 – α)/2.

t - коэффициент доверительной вероятности, определяемый для распределения Стьюдента;

σ_Sn – среднеквадратичное отклонение величины Sn.

σ_Sn приближенно определяют из формулы

Доверительные границы среднеквадратичного отклонения определя­ются как:

где x²(1 – β/2)(n-1) - квантиль;

x² - квадрат распределения при вероятности P =1 – β/2 и числе сте­пеней свободы k=n-1;

x²(β/2)(n-1) - то же для вероятности P = β/2.