Методика синтеза РФ по аналоговому прототипу

Под синтезом ЦФ понимается получение требуемой передаточной функции и структуры фильтра по заданной его частотной или импульсной характеристики.

Синтез передаточной функции H(z) по заданной частотной характеристике H_d(jω) заключается в ее аппроксимации и определении коэффициентов передаточной функции. Используемые здесь методы разделяются на аналитические, итерационные и численные.

Аналитические методы обеспечивают решение задачи аппроксимации в замкнутой аналитической форме. К ним относятся методы синтеза рекурсивных фильтров (РФ) по данным аналогового фильтра-прототипа и в первую очередь метод билинейного преобразования.

Итерационные методы, сочетая аналитический и численный подходы, не дают однозначного соответствия параметров расчетных и заданных характеристик и требуют, как правило, ряда уточняющих процедур. Итерационными являются методы весовых функций и частотной выборки, используемые для синтеза нерекурсивных фильтров (НФ).

Численные методы основываются на непосредственной аппроксимации заданной частотной характеристики с минимальной погрешностью в соответствии с определенным критерием оптимальности.

По виду аппроксимируемой частотной характеристики H(jω) различают цифровые фильтры со ступенчатообразной амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) – фильтры нижних частот (ФНЧ), верхних частот (ФВЧ), полосно-пропускающие (ППФ), полосно-заграждающие (ПЗФ), многополосные (МПФ), и ЦФ с произвольной частотной характеристикой (рис. 9.8).

Так как частотные характеристики ЦФ периодичны по частоте с периодом ω_д и их модуль (АЧХ) и аргумент (ФЧХ) обладают свойствами соответственно четной и нечетной симметрии относительно частот ω = 0 или , то их достаточно задать в полосе частот (0 - ) или полосе (0 – π) нормированных частот Ω = ωТ_д (рис. 9.8).

Исходными данными для синтеза ЦФ по заданной частотной характеристике являются:

- частоты среза (или частоты полосы пропускания), задерживания или непропускания ω_с, ω_з, определяющие границы и значения полос пропускания, задерживания и переходных полос фильтра;

- допустимая неравномерность АЧХ фильтра в полосе пропускания a_n, как правило, задается в децибелах;

- минимальное затухание АЧХ в полосе задерживания a_з, [дБ].

 

a_n = 20lg , a_з = 10lg

 

Здесь ∆_n и ∆₃ – отклонения расчетной АЧХ |H(jω)| от 1 в полосе пропускания и от нуля в полосе задерживания, в разах.

 

Рис. 9.8 – Примеры задания АЧХ ЦФ

 

Синтез РФ по аналоговому прототипу чаще всего осуществляется по методу билинейного преобразования или инвариантности частотных характеристик [5, 6, 7].

В этом методе синтезируемому ЦФ ставится в соответствии некоторый низкочастотный аналоговый фильтр-прототип (АФП) с передаточной функцией H(p) и частотной характеристикой H(jω_а), однозначно связанными с передаточной функцией H(z) и частотной характеристикой H(jω) ЦФ.

Связь эта определяется прямой p = f(z) и обратной z = преобразующими функциями и соответствующими им при p = jω_а и z = e ^jωТ_д преобразованиями частот ω_а = f(ω), ω = f^-–1(ω_а) аналогового и цифрового фильтров. С помощью этих преобразований определяются требования к АФП, по которым хорошо разработанными методами синтезируется его передаточная функция H(p), преобразуемая затем в искомую передаточную функцию ЦФ H(z).

Эти преобразующие функции должны удовлетворять следующим условиям:

- левая P – полуплоскость p = σ + j ω_а, σ < 0, в которой размещаются полюсы устойчивого АФП, должна однократно отображаться внутрь круга единичного радиуса |z| < 1, в котором на Z – плоскости размещаются полюсы устойчивого ЦФ, т.е. устойчивому АФП должен соответствовать устойчивый ЦФ;

- вся мнимая ось частот jω_а АФП, ω_а = (0 ± ∞), должна однократно, т.е. в один обход, отображаться на окружность единичного радиуса Z – плоскости e^jωТ_д, ω = (0 ± ), обеспечивая близость частотных характеристик обоих фильтров.

Этим условиям отвечаютпростое билинейное преобразование и обобщенные билинейные преобразования.

Данное преобразование применимо в случае, когда аналоговый и цифровой фильтры одинакового типа. Ему соответствуют преобразующие функции и частотные преобразования вида:

 

; ; (9.15)

; ,

 

где α – нормирующая константа.

Один из способов ее определения заключается в том, что минимальной частоте среза ЦФ ставится в соответствие единичное значение частоты среза нормированного АФП:

,

 

отсюда .

 

В результате перехода к нормированным частотам ЦФ Ω = ωТ_д частотные преобразования (9.15) принимают вид:

 

(9.16)

 

 

Несмотря на нелинейность частотного преобразования, сжимающего бесконечный диапазон физических частот АФП в основную полосу физических частот ЦФ (0 – ) (Ω = 0 – π), при синтезе РФ со ступенчатообразными АЧХ обеспечивается необходимая эквивалентность АФП и ЦФ по параметрам ∆_n, ∆_з, определяющим предельные погрешности аппроксимации, если граничные частоты среза и задерживания их связаны частотной преобразующей функцией:

 

 

Однако вследствие нелинейности частотного преобразования возможно существенное отличие ФЧХ цифрового и аналогового фильтров.

Синтез аналоговых фильтров с разными типами АЧХ (ФВЧ, ППФ, ПЗФ, МПФ) выполняется по нормализированному аналоговому низкочастотному ФП и он же используется в качестве прототипа при синтезе ЦФ. При этом каждому типу ЦФ ставится в соответствие обобщенное билинейное преобразование p = f_об(z) и соответствующее ему частотное преобразование ω_a = f_об(Ω), которые непосредственно устанавливают связь между передаточной функцией и частотной характеристикой АФПНЧ и ЦФ заданного типа и исключают необходимость каких-либо дополнительных промежуточных преобразований.

Для основных типов фильтров обобщенные преобразования приведены в таблице 9.1. Частотные преобразования представлены в таблице соотношениями между граничными частотами аналогового ФНЧ и ЦФ заданного типа. Для цифровых ППФ и ПЗФ в качестве частоты задерживания аналогового ФНЧ – прототипа принимается одна из расчетных частот Ω_з1,2 , имеющая наименьшее по модулю значение.

 

 

Таблица 9.1

 

Тип ЦФ	Преобразование p → z	Преобразование ωa → Ω
ФНЧ
ФВЧ
ППФ
ПЗФ