Методика синтеза НФ методом частотной выборки

 

По значению заданного затухания в полосе задерживания а_з выбирается число варьируемых отсчетов частотной характеристики в переходной полосе L. Например, при а_з ≤ 40 дБ, L = 1. Чем сложнее АЧХ фильтра, тем меньше затухание при данном значении L.

Для принятого значения L и заданной переходной полосы находим шаг дискретизации частотной характеристики по частоте: и число точек дискретизации: . Число N выбирается равным ближайшему целому числу, обычно нечетному.

Дискретизируем заданную частотную характеристику H_id(jω) с шагом Δf, в результате чего получаем ДЧХ H_id(jω_n), n = 0, 1, …, N - 1.

Определяются номера n единичных, нулевых и варьируемых частотных выборок.

Выбираются начальные значения var_iнач оптимизируемых частотных выборок в каждой переходной полосе, например, путем линейной интерполяции АЧХ между ее граничными частотами среза и задерживания.

Рассчитывается частотная характеристика H_p(jω) и находятся значения var_iopt, при которых частотная характеристика удовлетворяет заданным требованиям.

Рассчитывается импульсная характеристика НФ с учетом симметрии частотной характеристики:

 

,

 

n = 0, 1,..., N-1; при нечетном

– при четном.

 

Выбирается способ реализации НФ.

Ниже приведен листинг программы расчета в среде MathCAD синтеза полосового НЦФ методом частотной выборки.

Текст программного модуля синтезирующего цифровой нерекурсивный ППФ методом ЧВ

 

0

Данные для проектирования

 

fd – частота дискретизации;

 

– частота полосы пропускания;

 

– частота полосы заграждения.

 

 

 

1

Определение вспомогательных параметров и нормированных частот:

 

w – нормированная частота АФПНЧ;

ap – неравномерность в полосе пропускания (dB);

as – неравномерность в полосе непропускания (dB);

 

ap:=1 as:=40.0 а:=0.000001

L – константа определяющая число выборок в переходной полосе и уровень

затухания ППЗ. L = 0,1,2,...

α – константа определяющая крутизну АЧХ в переходной полосе и уровень затухания ППЗ. α = 0,1,2,... или дробная

 

2

 

Определение числа отсчетов

 

 

 

Формируем идеализированную АЧХ

 

 

 

 

Ideal AFH filter

Рис. 9.38 АЧХ идеального АФПНЧ

 

Формируем Импульсную характеристику и АЧХ фильтра

 

Design AFH filter

Рис. 9.37 Расчетная АЧХ фильтра

Design AFH filter

Рис. 9.39 Расчетная АЧХ фильтра в дб

 

 

 

 

Impuls response

Рис. 9.40 Импульсная характеристика

 

 

Коэффициенты рекурсивного звена второго порядка НР фильтра на основе частотной выборки

 

 

r – радиус окружности <= 1

 

 

Активный RC-фильтры

 

В активных фильтрах с обратными связями, используются параллельные и другие виды соединений четырехполюсников. Четырехполюсник, по которому сигнал проходит с входа на выход, является не селективной цепью с коэффициентом передачи, не зависящим от частоты. В качестве такого четырехполюсника широкое применение нашли операционные усилители (ОУ). Схемное обозначение ОУ приведено на рис. 9.41.

 

Рис. 9.41 Условное обозначение ОУ

 

RC-цепь играет роль многополюсника с помощью которого формируется частотно-зависимая обратная связь в ОУ, которая и определяет фильтрующие свойства активного фильтра (рис. 9.42).

 

Рис. 9.42 Активный фильтр

 

Для идеального ОУ, охваченного обратной связью, выполняется равенство U₃ = U₄ и поэтому коэффициент передачи фильтра в общем виде будет равен:

 

 

В этом выражении нули передаточной функции будут определяться нулями выражения , а полюсы .

Операционный усилитель по принципу действия сходен с обычным усилителем. Как и обычный усилитель, он предназначен для усиления напряжения или мощности входного сигнала. Однако в то время как свойства и параметры обычного усилителя полностью определены его схемой, свойства и параметры операционного усилителя определяются преимущественно параметрами цепи обратной связи. Операционные усилители выполняют по схеме усилителей постоянного тока с нулевыми значениями входного напряжения смеще­ния нуля и выходного напряжения. Они характеризуются также большим коэффициентом усиления, высоким входным и низким выходным сопротивлениями. Благодаря практически идеальным характеристикам операционных усилителей реализация различных схем на их основе оказывается значительно проще, чем на отдельных транзисторах.

В области низких частот выходное напряжение U₂ находится в той же фазе, что и разность входных напряжений U_D=U₁–U_N. D–вход называется неинвертирующим и на схеме операционного усилителя обозначается знаком «плюс». N–вход является инвертирующим и обозначается на схеме знаком «минус».

Чтобы обеспечить возможность работы операционного усилителя как с положительными, так и с отрицательными входными сигналами, используется двухполярное питающее напряжение U_п.

Дифференциальный коэффициент усиления операционного усилителя K = Δ U₂ / ΔU_D имеет конечную величину, которая лежит в пределах от 10⁴ до 10⁵ Он называется также собственным коэффициентом усиления операционного усилителя, т. е. усиления при отсутствии обратной связи.

Передаточная характеристика идеального операционного усилителя должна проходить через нулевую точку. Для того чтобы сделать выходное напряжение равным нулю, необходимо подать на вход операционною усилителя некоторую разность напряжений. Эта разность напряжений называется напряжением смещения нуля U₀. Оно составляет обычно несколько милливольт и во многих случаях может не приниматься во внимание. Когда же этой величиной пренебречь нельзя, оно может быть сведена к нулю и с помощью специальных схем.

В дальнейшем будет предполагаться, что напряжение смещения нуля скомпенсировано и равно нулю. Тогда U₂ = K U_D = K (U₁ –U_N). Таким образом, в пределах динамического диапазона выходное напряжение операционного усилителя пропорционально разности входных напряжений.

Если ввести последовательную обратную связь по напряжению, то коэффициент усиления такого усилителя имеет вид:

 

,

 

где К – коэффициент усиления усилительного каскада при отсутствии обратной связи, К_Ф – коэффициент передачи четырехполюсника обратной связи.

При К · К_ф >> 1 коэффициент усиления охваченного обратной связью усилителя К_А≈1/ К_ф. Из этого соотношения следует, что коэффициент усиления усилителя с обратной связью определяется только обратной связью и не зависит от параметров самого усилителя.

Если в качестве цепи обратной связи использовать простейший делитель напряжения и производить операцию вычитания напряжений с помощью дифференциальных входов операционного усилителя, то получится изображенная на рис. 9.43 базовая схема охваченного обратной связью неинвертирующего усилителя.

 

 

Рис. 9.43 Схема неинвертирующего усилителя

 

Если учесть, что для этой схемы U_обр = U_N = I · R₁ и U_вх = I · (R₁ + R₂ ), то коэффициент усиления усилителя с такой обратной связью К_А ≈ 1 / К_ф = 1 + R₂/ R₁.

Ещё один способ включения цепи обратной связи изображен на рисунке 9.44.

Рис. 9.44 Схема инвертирующего усилителя

 

Действие обратной связи заключается в том, что операционный усилитель обеспечивает такую величину выходного напряжения, что напряжение на его входе U_N ≈ 0. Тогда U₂ = I₂ · R₂ , а U_обр = I₁ · R₁ . Если записать для узла на N – входе первый закон Кирхгофа при условии, что у идеального операционного усилителя входной ток равен нулю и I₁ + I₂ = 0, то коэффициент усиления К_А ≈ – R₂ / R₁. Получим инвертирующий усилитель.

Например, для снижения смещения нуля инвертирующего усилителя между входом и общей точкой схемы включить компенсирующий резистор R₃ (рис. 9.45).

 

Рис. 9.45 Схема смещения нуля инвертирующего усилителя

 

Обычно активные фильтры формируются в виде каскадного соединителя четырехполюсников, обладающих относительно простой структурой и называемых звеньями ARC – фильтра (рис. 9.46).

 

 

Рис. 9.46 Звенья ARC – фильтра

 

Операторная передаточная функция фильтра может быть найдена как произведение передаточных функций отдельных звеньев:

 

 

При этом степень передаточной функции отдельного звена не превышает числа 2. Поэтому при нечетном числе звеньев в фильтре N, одно звено фильтра будет первого порядка.

Для анализа отдельного звена необходимо использовать схемы замещения ОУ, входящего в состав звена. В таблице 9.5 Приведены схемы замещения ОУ чаще всего встречающиеся на практике. коэффициент Собственный коэффициент усиления ОУ может быть сколь угодно большим (μ →), либо конечным положительным или отрицательным k.

 

Таблица 9.5

Наименование элемента	Схемное изображение	Схема замещения
Дифференциаль-ный операционный усилитель
Инверсный операционный усилитель
Усилитель с конечным усилением
Усилитель – повторитель напряжения