Синтез нерекурсивного фильтра методом частотной выборки

 

В методе частотной выборки импульсная характеристика фильтра h(n) находится путем дискретизации по частоте заданной частотной характеристики H_id(jω) и вычисления ее обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ).

Дискретизация частотной характеристики H_id(jω) по частоте осуществляется в полосе 0... ω_д путем перехода от непрерывных значений частоты ω к дискретным: ω_n = Δω·n, где n = 0, 1,..., N-1; - шаг дискретизации; n – номер частотной выборки; N – число точек дискретизации.

Шаг дискретизации по частоте Δω выбирается из условия , где L – целые числа, L = 0, 1, 2,...; Δω_пер – переходная полоса синтезируемого фильтра.

В результате получается дискретизированная частотная характеристика фильтра (ДЧХ) (Рис. 9.36).Так как заданная идеализированная частотная характеристика соответствует физически нереализуемому фильтру, то для ЦФ со ступенчатообразными АЧХ дискретизированная частотная характеристика отождествляется далее с их дискретизированной АЧХ.

Дискретизация частотной характеристики на рис.9.36 выполнена с шагом , (L = 1).

 

 

Рис. 9.36 Дискретизированная ЧХ цифрового фильтра нижних частот

 

ДЧХ имеет значения, равные в полосе пропускания 1 (H_id(jω_n) = 1), в полосе задерживания – нулю (H_id(jω_n) = 0) и в переходной полосе – некоторым промежуточным варьируемым значениям H_id(jω_n) = var,от которых зависит качество аппроксимации в переходной полосе - некоторым лосе задерживания - нулю со ступенчатообразным заданной частотной характеристики.

ДЧХ H_id(jω_n) можно поставить в соответствие некоторую импульсную характеристику h_p(n), определяемую с помощью обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ), получаемого путем дискретизации по частоте общего выражения для импульсной характеристики h_id(n) соответствующей заданной (непрерывной) частотной характеристике H_id(jω):

 

 

Выполняя замены:

 

; ; ,

 

получим импульсную характеристику h_p(n):

 

 

 

где i = 0, ±1, ±2, ±….

 

В качестве импульсной характеристики синтезируемого методом частотной выборки НФ выбирается один период импульсной характеристики h_p(n), сдвинутый вправо на отсчетов (для обеспечения физической реализуемости) и усеченный прямоугольной весовой функцией (для получения КИХ – фильтра) (рис. 9.37).

 

,

 

n = 0,..., N – 1.

 

 

 

Рис. 9.37 Импульсная характеристика НФ, синтезированного методом частотной выборки

 

По импульсной характеристике h(n) находится частотная характеристика фильтра H_p(jω), аппроксимирующая заданную:

 

 

Это уравнение получено на основе выражения для суммы конечного числа членов геометрической прогрессии.

В этом выражении множитель определяет ФЧХ фильтра, которая строго линейна вследствие симметрии импульсной характеристики.

АЧХ фильтра на частотах : точно совпадает с частотными выборками ДЧХ, а на частотах : - отличается от заданной на величину погрешности аппроксимации.

С учетом свойств четности АЧХ: и нечетной симметрии ФЧХ: φ(ω_n) =-φ(ω_N-n) выражение для частотной характеристики фильтра может быть преобразовано к более удобному для расчетов виду:

 

Здесь Ω = ωТ_д. Верхний предел суммирования – при нечетном N и - при четном. В случае четного N для фильтра с линейной ФЧХ выполняется условие , .

Качество аппроксимации в данном методе зависит от числа выборок частотной характеристики в переходной полосе L и их значений var_i, (i = 1, 2, …, L) делающих аппроксимируемую функцию более гладкой. Различным значениям соответствуют следующие примерные значения максимального уровня боковых лепестков:

 

L = 0: a_зmax ≈ – 20 дБ;

 

L = 1: a_зmax ≈ – 40 дБ;

 

L = 2: a_зmax ≈ – 50 – 60 дБ;

 

L = 3: a_зmax ≈ – 80 – 100 дБ.

 

Реально методом частотной выборки можно синтезировать НФ с минимальным затуханием в полосе задерживания до (90 – 120) дБ.

Таким образом, оптимизация фильтра заключается в выборе L – числа выборок в переходной полосе и поиске их оптимальных значений var_iopt минимизирующих погрешности аппроксимации. Очевидно, что с увеличением числа варьируемых выборок существенно усложняется процедура оптимизации. Она достаточно эффективно реализуется на ЭВМ методом линейного программирования.