Определение корней алгеброических уравнений

Пусть требуется решить уравнение с одним неизвестным x:

 

F(x) = 0 (6.1)

 

Это означает найти значения x_i, называемые корнями или решениями, удовлетворяющие уравнению (6.1).

Правильность полученного решения можно проверить подстановкой.

Уравнение (6.1) называется алгебраическим уравнением n -ой степени если оно представляет собой многочлен степени n относительно x:

 

, (6.2)

 

где коэффициент a_i – действительные или комплексные числа.

Алгебраической уравнение n -ой степени имеет n корней.

Алгебраическое уравнение называется действительным, если все его коэффициенты a_i – действительные числа.

Комплексные корни алгебраического уравнения могут быть только парными, комплексно сопряженными числами.

Уравнение нечетной степени всегда имеет хотя бы один действительный корень.

Аналитические методы решения уравнения (6.2) при n ≥ 3 весьма трудоемки. Компьютерные методы предельно упрощают эту задачу.

 

Методы решения алгебраических уравнений в среде MathCAD

Возможны 2 способа нахождения корней уравнения (6.2) в среде MathCAD:

· с помощью методов символьной математики согласно правилу 6;

· путем обращения к встроенной функции согласно правилу 2.

Рассмотрим применение обоих методов на конкретных примерах.

 

Пример

Найти корни кубического уравнения:

 

(6.3)

 

Решение по правилу 6:

Открываем рабочий лист и записываем многочлен из уравнения (6.3):

Выделяем (затемняем ■) в этом многочлене в любом члене один символ – переменную x – путем протаскивания курсора.

Открываем меню «Символ», подменю «Переменные» (Variable), щелчок по опции «Вычислить» (Solve).

На рабочем листе появляется результат, записанный в форме вектора:

 

 

 

Решение по правилу 2:

Вновь записываем многочлен из уравнения (6.3):

Выделяем (затемняем ■) в этом многочлене в любом члене один символ переменной х – путем протаскивания курсора.

Записываем вектор коэффициентов многочлена, для чего открываем меню «Символ», щелчок по опции «Коэффициенты» (Polynomial Coefficients).

Перед вектором вставляем его имя V:=. Получаем результат:

 

Следует отметить, что при отсутствии какого-либо члена, соответствующий ему коэффициент принимается равным 0.

Обращаемся к пиктограмме «Встроенная функция» f(x) на второй строке текстового окна – стандартной линейке.

На появившемся после щелчка диалоговом окне в разделе «Категория функций» выбираем строку с надписью «Решение» (All), а в разделе «Название функции» – polyroots (корни полинома).

После нажатия на кнопку «ок» или «Вставить» на рабочем листе появляется название данной функции.

В скобки вписываем имя вектора коэффициентов V и вводим знак =.

После ввода знака равенства получаем результат в виде вектора:

 

,

 

Точность полученного результат устанавливаем путем открытия меню «Формат», подменю «Результат» и выбора требуемого числа десятичных знаков в открывшемся окне.

Проводим проверку полученных результатов.

Для этого последовательно при каждом из полученных значений корня x_i (переносим их методом копирования) вычисляем значение многочлена F(x).

Близость к нулю действительной и мнимой частей F(x) указывает на правильность полученных результатов:

 

check-up