Приклади розв’язування задач.

5.1. Дві невеликі однакові заряджені кульки, кожна маси , підвішені в одній точці на умовно нерозтяжних нитках довжиною . Відстань між кульками << . Знайти швидкість стікання зарядів  з кожної кульки, якщо швидкість їх зближення змінюється за законом , де -стала.

 

 

Розв’язування.

<<           Умовно зафіксуємо миттєвий стан системи як рівноважний.                                                                                             

Оскільки система симетрична відносно вертикалі, що проходить

-?      через точку підвісу, то доцільно розглянути сили, які діють на одну

              кульку (рис.5.1). У стані рівноваги векторна сума всіх цих сил дорівнює нулеві:

.                                                   (а)

Тут - реакція нитки,  - кулонівська сила взаємодії між кульками, - сила тяжіння. Запишемо рівняння (а) у проекціях на координатні осі x та y:

                ; .            (б)

Сумісне рішення системи рівнянь (б) дає рівняння

                        .                      (в)

Оскільки << , то можна прийняти, що . Враховуючи закон Кулона, на підставі  (в) отримуємо:

                       .                     (г)

Продиференціювавши ліву та праву частини рівняння (г), маємо:

.

  Прийнявши,  що  за  малий  проміжок  часу                                                                                                                                    зближення кульок  і враховуючи, що згідно з рівнянням (г)

 і що , знаходимо кінцеве рівняння у загальному вигляді:

.

5.2. Три точкові однакові позитивні заряди  розміщені у вершинах рівностороннього трикутника (рис.5.2). Який негативний точковий заряд  потрібно помістити в центр трикутника, щоб сила притягання з його боку зрівноважила сили взаємного відштовхування зарядів, які знаходяться у вершинах?

 

                         Розв’язування.

                    Заряд  перебуватиме в рівновазі, якщо векторна сума діючих на нього сил дорівнюватиме нулеві:

                                                                               ,        

де ,  і  - сили, з якими діють на заряд  відповідно заряди ,  і ;  - рівнодійна сил  і .

Оскільки сили  і  напрямлені по одній прямій, то з (а) випливає, що - =0, або = . Виразивши в останньому рівнянні

 через  і  і врахувавши, що = ,

Рис.5.2                         дістанемо:

                               

.

Згідно із законом Кулона і з урахуванням, що , знайдемо

,

звідки

.                                     (б)

З геометричних побудов у рівносторонньому трикутнику                 

.

Підставивши значення  і  з останніх співвідношень у формулу (б), дістанемо                                      .                                                   (в)

Підставимо числове значення  у (в) і знайдемо

.

Відповідь: =0,58 нКл.

5.3. Точковий заряд =25нКл знаходиться в електростатичному полі нескінченно довгого циліндра радіусом , який рівномірно

заряджений і має поверхневу густину заряду . Визначити силу

, що діє на заряд, якщо його відстань від осі циліндра = 0,1м.

 

                                    Розв’язування.

                          Абсолютне значення сили, що діє на точковий                                                        заряд , який знаходиться в електростатичному

                             полі, визначають за формулою

                                                          ,                                               (а)

де  - абсолютне  значення напруженості електростатичного  поля. Напруженість поля нескінченно довгого рівномірно зарядженого      циліндра

.                                                  (б)

Підставивши значення Е з (б) у (а), знайдемо робочу формулу

                                               .                                                    (в)

Підставимо у (в) числові значення фізичних величин і знайдемо значення

сили, що діє на заряд:

                                

Відповідь: F =5,65

5.4 . Плоский диск радіусом R=0.1м заряджений позитивно. Заряд розподілений по його поверхні зі сталою густиною . Визначити потенціал електростатичного поля в точці М на осі симетрії, віддаленій від центра диска на 0,5м.

                                                      Розв’язування.

    Розмістимо диск так, щоб вісь симетрії збігалася з                   віссю Y прямокутної системи координат (рис.5.3).

                        Виділимо на диску вузьке кільце. Якщо через S  позначи-

ти радіус цього кільця, а через - його ширину, то площа кільця дорівнює . Кількість електрики, що міститься на ньому, становитиме . Усі елементи заряду на вузькому кільці диска розміщені на однаковій відстані від точки М, а саме:

.

    

Внесок  кільцевої  поверхн і  в потенціал  у  точці  М   дорівнює

.  (а)

 

            Рис.5.3                                                 Щоб визначити потенціал,

зумовлений  зарядженим  диском,  слід  взяти  інтеграл  по  всіх  таких  кільцях:

.                                      (б)

Зробимо таку підстановку змінних у виразі (б):

; , звідки .                        (в)

Замінимо у формулі (б)  і  на їхні значения з виразу (в) і дістанемо:

.                  (г)

Підставимо числові значення в формулу (г):

.

Відповідь: .

5.5. У вершинах правильного шестикутника із стороною а поміщають точкові заряди однакової величини . Знайти потенціал  і напруженість Е поля в центрі шестикутника при умові, що:

1 ) знак усіх зарядів однаковий,

2) знаки сусідніх зарядів протилежні.

                                 Розв’язування.

                       Згідно  з   принципом  суперпозиції  полів  потенціал  поля,

         створеного   системою   зарядів,    дорівнює  алгебраїчній  сумі

         потенціалів, які утворені кожним із зарядів окремо. Врахувавши,

                     що  отримаємо:

.                    (а)

Рис.5.4                                              Рис.5.5

Напруженість поля системи зарядів дорівнює векторній сумі напруженостей полів, які створював би кожен із зарядів системи самостійно.

Напруженість поля кожного заряду , тобто за величиною всі значення  однакові. Внаслідок симетрії системи (рис.5.4):

.                                             (б)

Міркуючи аналогічним чином, обчислимо потенціал поля у другому випадку:

.                            (в)

Напруженість поля .Із рис.5.5 видно, що . Отже

.                                                   (г)

Відповідь: 1)

              2) , .

5.6. Знайти  роботу  сил  електростатичного поля  по  переміщенню  заряду  із точки 1 в точку 2 (рис.5.6), що знаходяться між  двома різноймен- но  зарядженими площинами, відстань  між якими дорівнює . Поверхнева густина заряду .

                                       Розв’язування.

   Можливі два способи  розв’язування  цієї  задачі.

                        1-й спосіб. Роботу сил поля по переміщенню заряду

                                 з точки поля з потенціалом  у точку з потенціалом

знайдемо за формулою:

.                                               (а)

Оскільки напруженість поля  дорівнює градієнту потенціалу з протилежним знаком, то можна записати

                       ,                   (б)                                         

звідки

.                  (в)                                               

Проінтегруємо вираз (в), взявши до уваги,                                                                                  Рис.5.6                  що поле між нескінченними паралельними

рівномірно різнойменно зарядженими площинами однорідне, його напруженість :

                                         .                                   (г)

 

Підставивши у вираз (а) значення різниці потенціалів із залежності (г), знайдемо

.                                               (д)

2-й спосіб. Оскільки поле між площинами однорідне, то сила, що діє на заряд  при його переміщенні, стала. Тому роботу сил поля по переміщенню заряду  з точки 1 у точку 2 можна знайти за формулою

.                                     (е)

Врахувавши, що  і , знайдемо вираз для обчислення роботи:

.                                              (є)

Отже, обидва способи розв’язування задачі дають один і той самий результат.

Знайдемо числове значення роботи:

.

Відповідь: .

 

5.7. Знайти силу  взаємодії двох молекул води, які знаходяться на відстані  одна від одної (рис.5.7). Електричний дипольний момент молекули води . Дипольні моменти молекул вважати розміщеними вздовж прямої, що з’єднує молекули.

 

 

Розв’язування.

                    

-?

 

                                         Рис.5.7

Розглянемо випадок, коли диполі лежать на одній прямій і орієнтовані один відносно одного протилежними зарядами, тобто дипольні моменти паралельні. Тоді, згідно з формулою (1.32) та законом Кулона, поле першого диполя діятиме на заряди  і  другого диполя відповідно з силами

, .                         (а)

Оскільки сили  і  є антипаралельними, то їхня рівнодійна

.                           (б)

Враховуючи, що , і нехтуючи величинами вищих порядків малості, вираз (б) можна записати так:

.          (в)

Виконавши обчислення, отримаємо:

.

Знак мінус вказує на те, що диполі притягуються. При антипаралельному розміщенні дипольних моментів значення сили буде таке саме, але додатне, тобто диполі будуть відштовхуватись.

Відповідь: .

5.8. Диполь з електричним моментом  вільно встановився в однорідному електричному полі з напруженістю . Визначити зміну потенціальної енергії диполя у разі повороту його на .

 

 

                           Розв’язування.

                    Вивести диполь зі стану стійкої рівноваги

                                 можна лише під дією зовнішніх сил. Тому, по-

                        вертаючи диполь на певний кут , зовнішні сили

                                            виконуватимуть додатну роботу, яка витрачати-

                               меться  на  зміну  потенціальної  енергії  диполя:

.                            (а)

Елементарна робота  в разі повороту диполя на кут  буде

,                                   (б)

де  - момент пари сил  і , що діють на заряди диполя з боку електричного поля.

У разі повороту диполя від кута  до кута  повна робота

        = .                (в)

Величина роботи, виконаної зовнішніми силами, становитиме

.

Згідно з виразом (а) зміна потенціальної енергії диполя

.

Відповідь: .

5.9. Відстані між центрами металевих кульок . Радіус кожної з них . Кульки відштовхуються з силою . Чому дорівнює поверхнева густина електричних зарядів кульок, якщо вони знаходяться в діелектрику з ?

 

                                                        Розв’язування.

Оскільки кульки мають однакові радіуси і вони                 відштовхуються, то очевидно, що заряди кульок

                        однакові за величиною й однойменні, тобто .

                        На поверхні кульок заряд розподілений рівномірно з

поверхневою густиною , звідки    

,                                                        (а)

де - площа поверхні кульки.

За законом Кулона сила взаємодії зарядів у діелектрику дорівнює

.                                      (б)

На підставі формул (а) і (б) отримуємо:

 

.                                 (в)

З рівняння (в) виведемо формулу для визначення :

.                                           (г)

Знайдемо числове значення поверхневої густини електричних зарядів кульок

                          .

 

Відповідь: , якщо заряди кульок позитивні; , якщо заряди кульок негативні.

 

5.10. Конденсатори , , ,  з’єднані так, як показано на рис.5.8. Різниця потенціалів між точками  і  дорівнює . Обчислити різницю потенціалів на кожному з конденсаторів і заряд на його обкладках.

Розв’язування.

 Як  видно з  рисунка,                                                         

 конденсатори  і                                                                                                                        

та  і  відповідно  

 з’єднані послідовно в      

            дві ланки, а  ці ланки

                         з’єднані   паралельно                

                                   в точках  і .

                             У  разі послідовного                                                                             

                                        Рис.5.8                 з’єднання   конденса-                                                          

торів заряд на  всіх  обкладках  за  абсолютною  величиною буде однаковим.                                                                

Позначимо  ці  заряди  на  обкладках  конденсаторів  першої  ланки ,  а другої - . Різниця  потенціалів  на  першому  конденсаторі ,  на  дру-

гому - , на третьому - , на  четвертому - .  Причому

 

 і . Визначимо заряд :

                                                         ,                                            (а)

де  - електроємність першої ланки конденсаторів, сполучених послідовно. Знайдемо її:

 

,

звідки

.                                                  (б)

Підставимо  із (б) у вираз (а) й отримаємо:

.                                               (в)

Аналогічно знайдемо, що

.                                              (г)

Тоді

; ;

;  .

Обчислимо їх значення:

; ; ; .

Заряди на пластинках конденсатора можна знаходити або за формулами (в) і  (г), або за формулами різниці потенціалів між обкладками на одному з конденсаторів, взятому з першої та другої ланок. Так,

,

звідки

;

.

Відповідь: ; ; ; ; ; .

 

5.11. Відстань між обкладками плоского конденсатора , різниця потенціалів . Заряд кожної обкладки . Визначити енергію електричного поля конденсатора і силу взаємного притягання обкладок.

 

                                                    Розв’язування.

                      Енергія електричного поля плоского конденсатора:

                             ,                             (а)

                               де -об’ємна густина енергії електричного

                               поля, -  об’єм  конденсатора.  Підставимо  у

                                        формулу (а) вираз для визначення :

 

.                             (б)

Електричне поле плоского конденсатора однорідне, тому його напруженість . Підставимо цей вираз у (б) і зробимо перетворення:

.                          (в)

Оскільки відомий заряд на обкладках, то електроємність знайдемо через заряд і різницю потенціалів . Підставимо цей вираз С у формулу (в):

.                                               (г)

Обчислимо

.

Для того, щоб розвести обкладки конденсатора на відстань , необхідно виконати роботу проти сил протягування . Ця робота витрачається на зміни енергії конденсатора: . Отже

.

Відповідь: ; .

5.12. Електричне поле створено провідною зарядженою ( ) кулею радіусом . Яка енергія  поля зосереджена в об’ємі, обмеженому кулею і концентричною з нею сферичною поверхнею, радіус якої вдвічі більший радіуса кулі?

 

                                           Розв’язування.

             Оскільки куля провідна, то заряд  розподілиться по її                     

           поверхні і в об’ємі кулі поле відсутнє. На поверхні кулі і за її                           

              межами заряд кулі можна вважати точковим. Напруженість 

 поля, створеного зарядом  в точці на відстані  від центра кулі (рис.5.9)

.

    Енергія електричного поля у заданому об’ємі дорівнює:

                             

                                                        (а)

 

 

 

 Враховуючи задані величини, на підставі                                                                                                                          формули (а) отримуємо:

.

Відповідь: .

 

  Рис.5.9