Опис властивостей електричного поля

Для опису властивостей векторних полів, в тім числі і електричного, зручно використати математичний апарат – так званий векторний аналіз. Одним із елементів цього аналізу є градієнт, який використовують для скалярних полів. Якщо кожній точці з координатами  співставляється значення скалярної величини , то кажуть, що задано скалярне поле . Градієнтом величини  називають вектор

.

Для електростатичного поля  - потенціал поля (див.(1.23)-(1.25)).

При зміщенні на відрізок  зміна функції  дорівнює

.

Розглянемо деякі інші елементи.

 

1.9.1. Потік вектора напруженості електричного поля

Скористаємося  моделлю  текучої  рідини.  Нехай  течія  рідини характе- ризується полем вектора швидкості . Об’єм   рідини,  що  протікає  в оди- ницю часу  через деяку  уявну поверхню , називають потоком  рідини  через цю поверхню.  Очевидно, що за  проміжок часу  через плоску поверхню  протікає об’єм   рідини  (рис.1.12).  

                                                                                                                                      

Розділивши цей об’єм на проміжок часу , знайдемо потік рідини через поверхню :

.

Через елементарну поверхню  довільної форми потік рідини

                                     (1.38)                                                                                      

де   - проекція вектора  на нормаль ,  - не істинний, а псевдовектор.

Склавши потоки через всі елементарні поверхні, на які була поділена поверхня , знайдемо потік рідини через всю поверхню :

                          (1.39)

Для будь-якого вектора  величину

                          (1.40)

називають потоком вектора  через поверхню . Отже, формула (1.39) описує потік вектора  через поверхню

По аналогії з (1.38) – (1.40) для вектора напруженості  електричного поля отримаємо:

                             (1.41)

                       (1.42)

 

Теорема Гаус c а

Німецький вчений Гаусс на початку 19ст. довів, що потік  вектора напружено-     сті    електричного   поля    через   замкнену    поверхню пропорційний  сумарному  заряду під  цією поверхнею:                                                                                                                                                                                                                               (1.43)  

Це твердження називають теоремою Гаусса. Розглянемо цю теорему на прикладі поля точкового заряду, охопленого концентричною сферичною поверхнею радіуса  (рис.1.13).

Нормаль  до такої поверхні співпадає з радіусом . Оскільки поле точкового заряду центральносиметричне , то

.

 

Тоді

,

 

що узгоджується з (1.43). Отриманий результат залишається справедливим і для поверхні довільної форми. Насправді, потік вектора  через поверхню  (рис.1.14) дорівнює:

Тут  - елементарний тілесний кут. Потік через замкнену поверхню

,

що теж узгоджується з теоремою Гаусса.

Якщо під замкненою поверхнею знаходяться  точкових зарядів, то згідно з принципом суперпозиції, напруженість поля .Тому

.

Кожен із інтегралів під знаком суми дорівнює . Отже,

                                    (1.44)

У випадку об’ємних  і поверхневих  безперервно розподілених зарядів формула (1.44) узагальнюється так:

   (1.45)

В СІ коефіцієнт пропорційності в теоремі Гаусcа дорівнює .

Якщо замкнена поверхня будь-якої форми не охоплює заряди, то , оскільки кожна лінія  перетинає поверхню непарне число разів (рис.1.15).

 

 1.9.3. Дивергенція (розходження) вектора

Потік вектора  через замкнену поверхню, що відображає принцип суперпозиції, є інтегральною властивістю поля у всьому об’ємі, обмеженому цією поверхнею. Для характеристики поля у будь-якій точці використовують поняття дивергенції вектора .

Якщо потік будь-якого вектора (наприклад вектора швидкості рідини) через замкнену поверхню не дорівнює нулеві, то в об’ємі під поверхнею є джерела або стоки рідини, тобто точки, в яких рідина поступає в об’єм (джерела), або витікає із об’єму (стоки). Величина потоку визначає сумарну потужність джерел і стоків (з загальною назвою джерел).

Відношення потоку до величини об’єму, із якого він витікає, тобто  дає середню питому потужність джерел, що знаходяться в цьому об’ємі. У векторному аналізі доведено, що границя відношення потоку будь-якого вектора , визначеного у всіх точках векторного поля, крізь замкнену поверхню  до об’єму , обмеженого цією поверхнею, при  (при стягуванні об’єму в точку ) не залежить від форми . Границя цього відношення визначає дійсну питому потужність джерел в цій точці . Ця потужність і є характеристикою векторного поля в точці . Її називають дивергенцією або розходженням вектора  і позначають .

Таким чином, за визначенням

.

Для будь-якого вектора

.                                     (1.46)

Аналогічно формулі (1.46) дивергенція вектора  дорівнює:

.                                     (1.47)

Якщо сумарний заряд під замкнутою поверхнею розподілений з об’ємною густиною , то, згідно з теоремою Гаусса (1.44)

.

Із вище сказаного (див.(1.42), (1.47)) випливає, що і потік і дивергенція є величинами скалярними.

У декартовій системі координат

                                      (1.48)