Это выбирается базовой динамикой .

В разделе 4 мы обобщаем результаты [3] на неавтономную
настройку и показываем, что спектр Ляпунова коцикла Перрона - Фробениуса
задается неотрицательными кратными показателя
Ляпунова базового коцикла продукта Блашке в случайной
фиксированной точке на единичном диске (с кратностью два для всех положительных
кратных этого показателя). Насколько нам известно, это первый случай,
когда было дано полное описание бесконечного спектра
Ляпунова коцикла Перронфробениуса. Мы находим весьма примечательным, что
Спектр Перрона - Фробениуса (описывающий, что происходит с плотностями на
единичном круге) регулируется таким образом производной в случайной
фиксированной точке внутри единичного диска.

В разделе 5 мы, к нашему удивлению, показываем, что существуют естественные
примеры случайных динамических систем, где естественные возмущения
коцикла Перрона - Фробениуса приводят к коллапсу спектра Ляпунова
. Мы фокусируемся на конкретном коцикле продукта Blaschke (с картами

4

СЕСИЛИЯ ГОНЦ

АЛЕЗ - ТОКМАН И ЭНТОНИ КВАС

T

0

И Т

1

Применяется внутривенным способом, где T

0

(z) = z

2

И Т

1

(z) =

[(z +

1
4

)/(1 +

z
4

)]

2

). Оператор Перрона - Фробениуса T

0

известно
, что он сильно вырожден [1, упражнение 2.14]. Если частота применения
T

0

равно p, то мы находим фазовый переход: для p ≥

1
2

,
спектр Ляпунова коллапсирует (так что существует показатель 0 с кратностью
1, а все остальные показатели Ляпунова равны − ∞), в то время как для p

1
2

, существует
полный (бесконечный) спектр Ляпунова. Затем мы рассмотрим
нормальные возмущения (соответствующие добавлению случайного нормального шума в
динамическую систему), L

0

И Л

1

и покажем, что для p ≥

1
4

, есть

Коллапс спектра Ляпунова для всех

> 0.

В частности, для

1
4

≤ p

1
2

, невозмущенная система имеет полный
спектр Ляпунова, в то время как сколь угодно малые нормальные возмущения имеют
свернутый спектр Ляпунова. Мы также показываем, что коллапс может произойти
при каждом p > 0 в условиях равномерных возмущений. В отличие
от обстановки Бочи, наши возмущения явно описаны и
естественным образом возникают в этом районе.

В разделе 6 мы покажем, что в естественных условиях на
лежащем в основе коцикле продукта Блашке соответствующий коцикл Перрона - Фробениуса
обладает некоторыми свойствами гиперболичности, гарантирующими равномерное
разделение между быстрыми и медленными подпространствами Оселедец. Это позволяет нам
дать простое необходимое и достаточное условие устойчивости спектра
Ляпунова. В частности, мы показываем, что множество стабильных коциклов
является открытым и плотным.

В приложении мы сравниваем показатели Ляпунова и
расщепления Оселедца случайных линейных динамических систем, возникающие в результате
ограничения коцикла более тонким подпространством. Это позволяет нам изучать действие
коцикла Перрона - Фробениуса на более грубых банаховых пространствах, таких как C

r

.
(В случае автономных систем этот вопрос был рассмотрен
Балади и Цудзи в [2].) Мы строим явный пример
коцикла аналитических отображений круга (действительно, произведений Блашке)
, оператор Перрона - Фробениуса которого, действуя на C

r

функциональное пространство,
имеет отрицательные исключительные показатели Ляпунова. Соответствующая
ситуация в автономном случае была впервые установлена Келлером и Рагом
[15], и в [3] было высказано предположение, что продукты Блашке также могут
демонстрировать это явление.

Формулировка теорем

В этом разделе мы изложим наши основные теоремы. Мы примем стандартные
определения, но для полноты некоторые термины, используемые здесь, будут определены
в следующем разделе.

УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЛАПС СПЕКТРА ЛЯПУНОВА

5

Для конечного продукта Блашке установите r

T

(R):= макс.

|z|=R

|T (z)|. По [26]
если ограничение продукта Блашке на единичный круг расширяется,
то r

T

(R) < R для некоторого R-

orem, R → r

T

(R) удовлетворяет свойству логарифмической выпуклости: r

T

(R

1 −λ
1

R

λ
2

) ≤

r

T

(R

1

)

1 −λ

r

T

(R

2

)

λ

для 0 < λ В частности, для продуктов Blaschke

r

T

(1) = 1, так что если r

T

(R)

T

(R)

пусть β (T) = inf{R > 0: r

T

(R) Затем r

T

(R)

R ∈ (β (T), 1).

Для коцикла продукта Блашке T = (T

ω

)

ω ∈ Ω

, определим r

T

(R) =

Ess sup

ω ∈ Ω

r

T

ω

(R). Если T конечна, то для R ∈ (ess sup

ω

β (ω), 1) мы имеем

r

T

(R)

T

(R) < R будет накладываться на протяжении всего
документа.

Теорема 1 (Спектр Ляпунова коцикла произведения Блашке). Пусть
σ - обратимая эргодическая сохраняющая меру трансформация
вероятностного пространства (Ω, P). Пусть R

ω

)

ω ∈ Ω

Будьте семьей конечных

Продукты Блашке, в значительной степени зависящие от ω, удовлетворяющие r:= r

T

(R)

R. Пусть L

ω