V , доказательство завершено .

Лемма 24. Пусть преобразование с сохранением меры и коциклы
удовлетворяют r

T

(R) Пусть V будет тем

Подпространство H

2

(А

R

), охватываемый многочленами Лорана z

− (j+1)

Для

j = 1,..., N. Тогда Я

(n)
ω

V растягивается на 1/ z − T

(n)

ω

(0)

j+1

для j =

Н.

В частности, последовательность L

(n)
ω

V приближается к эквивариантной последовательности

Подпространств

P

−

N

(σ

n

ω):= lin

1

(z − x

σ

n

ω

)

j+1

: 1 ≤ j ≤ N

.

Доказательство. Этого достаточно, чтобы показать, что если f (z) = 1/(z − x)

j+1

с x ∈ D, то

Для любого конечного расширяющегося продукта Блашке, L

ω

F - линейная комбинация

СТАБИЛЬНОСТЬ И КОЛЛАПС СПЕКТРА ЛЯПУНОВА

19

из 1/(z − T (x))

к +1

для k в диапазоне от 1 до j, но это было установлено
из следствия 17.

Следствие 25. Пусть преобразование и коциклы, сохраняющие меру
, будут такими, как указано выше. Пусть W - подпространство H

2

(А

R

), охватываемый Лоранским

Многочлены z

j − 1

для j = 1,..., N. Затем L

(n)
ω

W охватывает z

j − 1

/ 1 −

T

(n)

ω

(0)z)

j+1

для j = 1,..., N.

В частности, последовательность L

(n)
ω

W приближается к эквивариантному se-

Последовательность подпространств,

P

+

N

(σ

n

ω) = lin

z

j − 1

(1 − ¯

x

σ

n

ω

z)

j+1

: 1 ≤ j ≤ N

.

Доказательство. Обратите внимание, что L

Я

Карты z

− (j+1)

К z

j − 1

(и наоборот), и является

Непрерывный оператор на H

2

(А

R

). Итак, Я

Я

(V) = W, где V- это

В утверждении леммы 24. Так как L

ω

И Л

Я

Ездим на работу, как видим

L

(n)
ω

W = L

(n)
ω

L

Я

(V) = L

Я

(L

(n)
ω

(V)).

Вычисление показывает, что если

f (z) = 1/(z − x)

j+1

, затем L

Я

f (z) = z

j − 1

/(1 − ¯

Xz)

j+1

.

Следствие 26. Пусть динамическая система, коцикл произведения Блашке и
семейство операторов Перрона - Фробениуса удовлетворяют r

T

(R) Пусть
E(ω) - эквивариантное семейство конечномерных быстрых пространств для
коцикла. Тогда существует N таких, что для P-a.e. ω,

E(ω) ⊂ P

−

N

(ω) ⊕ W

0

(ω) ⊕ P

+

N

(ω),

Где Ж

0

(ω) соответствует определению, приведенному в следствии 20.

Доказательство. Пусть F (ω) - соответствующее медленное подпространство для E(ω). Так
как (конечный срок) Многочлены Лорана, L, образуют плотное подпространство
H

2

(А

R

), и Π

E(ω) F (ω)

ограничена, мы видим, что Π

E(ω) F (ω)

(L) является
плотным подпространством E(ω) и, следовательно, равно E(ω). Выберите
конечномерное подпространство L

1

из L таких, что Π

E(ω) F (ω)

(L

1

) = E(ω). Следовательно

существует N таких, что V = lin{z

-1+j

: |j| ≤ N } удовлетворяет
гипотезе леммы 23. По лемме 24 и следствиям 20 и 25 мы
видим

(1)

Отхлебывать

x ∈ E(σ

n

ω) ∩ S(X)

D(x, P

−

N

(σ

n

ω) ⊕ W

0

(σ

n

ω) ⊕ P

+

N

(σ

n

ω)) → 0.

Для фиксированного N пусть A

N

быть множеством ω, для которого выполняется (1) и

Обратите внимание, что

N

является σ - инвариантным измеримым подмножеством Ω. Следовательно, там

существует N > 0 такое, что для P-a. e. ω,

Отхлебывать

x ∈ E(σ

n

ω) ∩ S(X)

D(x, P

−

N

(σ

n

ω) ⊕ W

0

(σ

n

ω) ⊕ P

+

N

(σ

n

ω)) → 0.

20

СЕСИЛИЯ ГОНЦ

АЛЕЗ - ТОКМАН И ЭНТОНИ КВАС

Это следует из Пуанкаре

e теорема о повторении, что если κ: Ω → [0, ∞)

является измеримой функцией, такой, что κ (σ

n

ω) → 0 для P-a.e. ω, то

κ (ω) = 0 почти для каждого ω. Мы применяем это к

κ (ω) =

Отхлебывать

x ∈ E(ω) ∩ S(X)

D(x, P

−

N

(ω) ⊕ W

0

(ω) ⊕ P

+

N

(ω)),

чтобы сделать вывод, что E(ω) ⊂ P

−

N

(ω) ⊕ W

0

(ω) ⊕ P

+

N

(ω) для P-a.e. ω, по мере
необходимости.

Доказательство теоремы 1. Компактность коцикла следует из
следствия 22, а утверждение (1) следует из следствия 14.

В свете следствия 26 достаточно оценить показатели
Ляпунова, когда система ограничена конечномерными
эквивариантными подпространствами P

N

(ω) = P

−

N

(ω) ⊕ W

0

(ω) ⊕ P

+

N

(ω). Обратите внимание, что с тех пор

Каждый из E

0

(ω) и P

±

N

(ω) эквивариантна, показатели Ляпунова

Коцикл, ограниченный Р

N

Являются ли просто комбинацией Ляпунов

Показатели E

0

(ω), Р

+

N

(ω) и P

−

N

(ω). Так как L

Я

(П

±

N

(ω)) = P

∓

N

(ω),

L

Я

Является ограниченной инволюцией, и L

T

(n)

ω

◦ L

Я

= L

Я

◦ L

T

(n)

ω

, мы делаем вывод

Показатели Ляпунова ограничения коцикла на P

+

N

(ω) являются

То же самое, что и в случае ограничения на P

−

N

(ω). Как отмечено в
следствии 20, показатель коцикла, ограниченный эквивариантным пространством
E

0

(ω) равно 0 (это окажется ведущим показателем). Достаточно
вычислить показатели Ляпунова ограничения коцикла на
P

−

N

(ω). Затем каждый из этих показателей Ляпунова будет иметь кратность
два для полного коцикла, повторяясь как показатель Ляпунова в
ограничении на P

+

N

(ω).

Из следствия 17 следует, что матрица, представляющая ограниченную -

Привязка коцикла к P

−

N

(ω) является верхним треугольником относительно

естественное семейство оснований, (z − x

ω

)

− (j+1)

для j = 1,..., N.

Если T (x

ω

) = 0, то все диагональные члены матрицы равны 0 на

Теорема 16. Следовательно, если T

ω

(x

ω

) = 0 для набора ω положительной меры,
мы видим, что спектр Ляпунова равен 0 с кратностью 1 и − ∞
с бесконечной кратностью.

В противном случае мы вычисляем начальный член l

ω

F (z) вблизи x

σω

, где

f (z) = 1/(z − x

ω

)

j+1

. Пусть α = T

ω

(x

ω

). Тогда у нас есть

L

ω

F (x

σω

+ h) =

F (x

ω

+ h/ α)

T

ω

(x

ω

)

+ O(ч

− джей

)

= (α / ч)

j+1

/ α + O(h

− джей

) = α

j

/ ч

j+1

+ O(ч

− джей

).

То есть диагональная запись матрицы равна T

ω

(x

ω

)

j

. Мы также проверяем
, что недиагональные элементы матрицы ограничены: если i < j,
то запись (i, j) матрицы задается

1

Ни

L

ω

[f ](z)(z − x

σω

)

i

Дз.

СТАБИЛЬНОСТЬ И КОЛЛАПС СПЕКТРА ЛЯПУНОВА

21

где f (z) = (z − x

ω

)

− (j+1)