Стабильность и коллапс спектра Ляпунова

27

и, следовательно, быстрое и медленное пространства равномерно поперечны. Мы
выводим существование поля конусов вокруг E

k

(ω), и используйте это для
доказательства теоремы 5, показывающей, что спектр
Ляпунова коцикла Перронфробения устойчив при малых возмущениях. И наоборот, если
T

ω

(x

ω

) не ограничено ниже, мы покажем, что небольшие возмущения
коцикла Перрона - Фробениуса, даже в классе операторов Перрона - Фробениуса
продуктов Блашке, могут привести к коллапсу спектра Ляпунова
.

В первой части раздела мы заменяем продукт Blaschke co-

Цикл, (Т

ω

) с сопряженным коциклом (

T

ω

), почти все элементы которого
фиксируют происхождение. Сначала мы докажем теорему в этом контексте, а затем
покажем, как следует из полной теоремы.

6.1. Ограниченные проекции. Пусть σ: (Ω, P) → (Ω, P) - обратимое
эргодическое преобразование, сохраняющее меру, и пусть T = (T

ω

)

ω ∈ Ω

Быть

Коцикл продукта Blaschke, удовлетворяющий следующим условиям:

(a) T

ω

(0) = 0 для P-a.e. ω ∈ Ω;

(b) ess inf

ω

| Т

ω

(0)| > 0;

(c) поддержка ess

ω

r

T

(R);

Обратите внимание, что для коциклов продукта Блашке, удовлетворяющих этим условиям,
применяется теорема 1, и возникающая величина Λ конечна (и отрицательна),
так что показатели Ляпунова равны λ

j

= (j − 1) Λ, где λ

1

= 0 имеет
кратность 1, а остальные показатели имеют кратность 2. Обратите
внимание, что (b) обеспечивает равномерное управление на |T

ω

(x

ω

)|, в то время как условие Λ > − ∞ >
в теореме 1 для нетривиального спектра Ляпунова дает только среднее
управление на |T

ω

(x

ω

)|.

Доказательство теоремы 1 (в частном случае x

ω

= 0) показывает, что для

j > 1, можно определить естественную основу для V

j

(ω), состоящая из Лорана

Многочлен f

ω, дж

С z

− 2

,..., z

− джей

термины и их инверсия L

Я

f

ω, дж

с

z

0

,..., z

j − 2

Условия.

Мы устанавливаем r = r

T

(R). Мы также потребуем, чтобы | Т

ω

| равномерно

Ограничена сверху на D

r

, но на самом деле это условие выполняется автоматически

с

T (z) =

2!

Ни

C

1

T (w)

(w − z)

3

Св

и |T (w)| = 1 всякий раз, когда |w| = 1, так что |T (w)| ≤ 2/(1 − r)

3

На Д

r

.

Пусть λ

(n)
ω

обозначим |(T

(n)

ω

) (0)| во всем, что следует ниже.

Лемма 28 (Оценка случайного искажения с фиксированной точкой). При
указанных выше условиях существует c

1

такое, что для P-a.e. ω ∈ Ω, для всех

z ∈ C

R

,

| Т

(n)

ω

(z)| ≤ c

1

λ

(n)
ω

.

28

СЕСИЛИЯ ГОНЦ

АЛЕЗ - ТОКМАН И ЭНТОНИ КВАС

Доказательство. Пусть γ

ω,n

(z) = |T

(n)

ω

z|/ λ

(n)
ω

и r = r

T

(R)

γ

ω,n+1

(z) =

| Т

(n+1)

ω

z − 0|

λ

(n+1)
ω

≤

Максимум

y ∈ [0,T

(n)

ω

z]

| Т

σ

n

ω

(г)| · | Т

(n)

ω

z − 0|

λ

(n)
ω

T

σ

n

ω

(0)

= γ

ω,n

(z)

Максимум

y ∈ [0,T

(n)

ω

z]

| Т

σ

n

ω

(y)|/|T

σ

n

ω

(0)|,

где [a, b] обозначает отрезок прямой, соединяющий a и b. Так как мы показали
в лемме 13 существование c такого, что для P-a.e. ω, |T

(n)

ω

(z) − 0| ≤

c(

r

R

)

n − 1

, мы видим, что для y ∈ [0, T

(n)

ω

(z)], используя равномерную ограниченность

Из Т

ω

, получаем неравенство |T

σ

n

ω

(г)/ Т

σ

n

ω

(0) − 1| ≤ c (

r

R

)

n

, так что

γ

ω,n

(z) ограничена по существу равномерно в ω и равномерно в n и z

Как z пробегает через C

R

.

Пусть H

2

(А

R

)

−

быть лин ({z

− джей− 1

: j > 0}) и H

2

(А

R

)

+

быть лин ({z

j − 1

: j >
0}). (Мы решили компенсировать индексы на 1, поскольку мы видели, что это
хорошо подходит для расчетов в остальной части статьи). Мы установили

ˆ

e

j

(z) = R

|j − 1|

z

j − 1

, в качестве удобного масштабирования стандартного ортогонального

Основа H

2

(А

R

), описанные ранее (в частности, их нормы находятся в диапазоне от
1 до 2).

Лемма 29. Пусть ρ

2

(А

ρ

)

−

.

Тогда f может быть расширен как f (z) =

m>0

a

− м

ˆ

e

− м

где | а

− м

| ≤

(

ρ

R

)

m

В частности, частичные суммы ряда для f, приведенные выше

Сходятся в Ч

2

(А

R

).

Позволь Тебе

−

k

Быть подпространством H

2

(А

R

)

−

охватывается ˆ

e

− 1

,..., ˆ

e

− (к− 1)

и

Определите V

−

k

(ω) с помощью

V

−

k

(ω) = {f ∈ H

2

(А

R

)

−

: лим суп

1

n

Журнал L

(n)
ω

f ≤ k Λ },

Так что Ч

2

(А

R

)

−

= U

−

k

⊕ В

−

k

(ω). В частности, У

−

k

является промежутком
тех векторов Оселедца, упомянутых выше, с показателями Ляпунова
λ

2

,..., λ

k

Которые являются многочленами в z

− 1

Пусть Q

−

Обозначим ортогональную

Проекция H

2

(А

R

) на H

2

(А

R

)

−

И пусть Q

+

Быть ортогональным

Проекция H

2

(А

R

) на H

2

(А

R

)

+

= lin({z

n − 1

: n ≥ 1}). Мы пишем

H

2

(А

R

)

±

Для Ч

2

(А

R

)

+

⊕Ч

2

(А

R

)

−

И обратите внимание, что H

2

(А

R

)

±

= lin(z

− 1

)

⊥

.

Теперь мы покажем, что при указанных выше условиях, U

−

k

И В

−

k

(ω)
равномерно поперечны.

Лемма 30. Пусть коцикл продукта Блашке удовлетворяет условиям (а),
(б), (в). Тогда для каждого k ∈ N существует постоянная M > 0 такая, что

Π

U

−

k

V

−

k

(ω)

≤ M для всех P-a.e. ω ∈ Ω.

СТАБИЛЬНОСТЬ И КОЛЛАПС СПЕКТРА ЛЯПУНОВА

29

Доказательство. Пусть c

1

будьте, как в лемме 28, и пусть ˆ

e

− дж.

Быть таким, как определено ранее. Мы

Вычислите матрицу L

ω

в отношении (ˆ

e

− дж.

) основа.

Для j > 0 запишите L

ω

(ˆ

e

− дж.

) как

1≤i≤j

a

ij

ˆ

e

− я

(такое расширение существует
без терминов более высокого порядка по следствию 17). Теперь у нас есть для 0 < i <
j,

a

ij

=

1

Ни

C

1

L

ω

(ˆ

e

− дж.

)(z)R

− i − 1

z

i

dz

=

R

− i − 1

Ни

C

1

ˆ

e

− джей

(z)(T

ω

(z))

i

dz

=

R

джей − и

Ни

C

R

(Т

ω

(z))

i

z

j+1

Дз

Для i = j мы имеем

jj

= (λ

ω

)

j

Как показано в теореме 1.

Аналогично, используя лемму 28, мы видим, что для a.e. ω, a

(n)
ω,ij

, коэффициент

Из L

(n)
ω

в отношении (ˆ

e

− дж.

) и (ˆ

e

− я

) удовлетворяет

| а

(n)
ω,ij

| =

R

джей−и

Ни

C

R

(Т

(n)

ω

(z))

i

z

j+1

Дз

≤ (c

1

λ

(n)
ω

/R)

i

для всех 1 ≤ i ≤ j.

(3)

Для i = j, a

n)
jj

= (λ

(n)
ω

)

j

и для i > j, a

(n)
ij

= 0. Пусть c

2

= (c

1

/R)

к− 1

,
у нас есть для a.e. ω,

(4)

| а

(n)
ω,ij

| ≤ c

2

(λ

(n)
ω

)

i

для всех 1 ≤ i ≤ k − 1 и всех j ∈ N.

Определить Π

− к