Иначе . В частности , с этим определением ord

∞

(1) = 2. Если f не является -

Нулевая рациональная функция на сфере Римана, то

z ∈ ˆ

C

Ord

z

(f) ≥ 2:
если f является ненулевой постоянной функцией, она имеет особенность порядка 2 при
∞; в противном случае f должен иметь по крайней мере один полюс по теореме Лиувилля. Если
F имеет ровно один полюс порядка 1 при x говорите, то ф − В /(З − х) (где
есть осадок) - это ограниченные и, следовательно, постоянна, а ф (З) = С + В /(З − х)
имеет порядок 1 На ∞, если c = 0 или 2 заказа по ∞ в противном случае.

СТАБИЛЬНОСТЬ И КОЛЛАПС СПЕКТРА ЛЯПУНОВА

13

Лемма 15. Если Q- это M

Трансформация обиуса, затем L

Q

Карты седловины -

выделение рациональных функций на ˆ

C в себя. Далее, орд

Q(x)

(L

Q

f) =

Ord

x

f для всех x ∈ ˆ

C.

Доказательство. Достаточно проверить, что L

Q

F мероморфен окрестности

из всех пунктов в ˆ

C. Если Q(w) = z с w, z = ∞, то ясно, что

L

Q

F мероморфен вблизи z и порядка

L

Q

f

(z) = ord

f

(w). Если Q(z) = 1/z,

Затем расчет показывает L

Q

f (z) = − f (

1
z

)/z

2

И мы можем это проверить

Ord

0

(L

Q

f) = порядок

∞

F и ord

∞

(L

Q

f) = порядок

0

F. С тех пор, как L

S ◦ T

= L

S

◦ L

T

И каждый М

преобразование Обиуса может быть выражено как композиция
отображений вида z → az + b с a = 0 и z → 1/z, доказательство
завершено.

Теорема 16. Пусть T - рациональная карта. Затем L

T

Сопоставляет коллекцию

рациональных функций на ˆ

C в себя. L

T

Не увеличивает количество заказов

Особенности и может уменьшить их: или

x

L

T

f ≤ max

y ∈ T

− 1

x

Ord

y

F для

каждый x ∈ ˆ

C.

Далее, если T имеет критическую точку в точке x, то f имеет сингулярность порядка

Больше 1 в точке x и никакой сингулярности в любой другой точке T

− 1

(T x),

Затем орд

T (x)

L

T

f

x

f.

Неравенство в первом абзаце является равенством, за исключением точек x

Таким образом, что Т

− 1

(T x) содержит критическую точку, в которой f имеет особенность
или содержит несколько особенностей f. Мы отмечаем, что теорема
кажется довольно неожиданной, поскольку обратные ветви рациональных функций
обычно не являются рациональными.

Доказательство. По лемме 15 этого достаточно, предварительно и после составления T с
M

преобразования обиуса, если необходимо, для рассмотрения случая z = ∞ и
T (∞) = z. Во - первых, обратите внимание, что если T не имеет критических точек или полюсов в
T

− 1

z, то это ясно из определения L

T

Что Л

T

F аналитично в

Окрестности з. В частности, L

T

F аналитично вне конечного множества

Изображений критических точек T и полюсов f.

Теперь пусть T

− 1

z = {y

1

,..., y

k

} и пусть T (z) − T (y

i

) имеют нулевой порядок

m

i

≥ 1 для i = 1,..., k. Предположим далее, что орд

y

i

f = o

i

. Пусть δ будет

Достаточно мал, чтобы T

− 1

B

δ

(z) состоит из k непересекающихся районов

N

1

,..., N

k

Из y

1

,..., y

k

. Теперь для 0 < | ч |

L

T

f (z + h) =

k

j=1 y ∈ T

− 1

(z+h) ∩ N

j

F (y)

T (y)

.

Если y ∈ T

− 1

(z + h) ∩ N

j

, у нас есть | у − у

j

| = O(h

М

j

) и |1/T (y)| =

O(h

-1+1/ м

j

) и |f (y)| = O(h

− o

j

/ м

j

). Следовательно, L

T

f (z+h) = O(h

− 1 −макс.

j

(o

j

-1)/ м

j

).

14

СЕСИЛИЯ ГОНЦ

АЛЕЗ - ТОКМАН И ЭНТОНИ КВАС

Это гарантирует, что L

T

F не имеет существенной особенности в точке z, поэтому

Что Л

T

f мероморфно окрестности z, как утверждается. Кроме того,
поскольку мероморфные функции не могут демонстрировать дробный рост мощности

Расценки, у нас есть заказ

z

L

T

f ≤ 1 + макс.

j

o

j

− 1

m

j

≤ max o

j

По мере необходимости.

Следствие 17. Пусть T- рациональная функция и пусть x ∈ C удовлетворяет
T (x) ∈ C. Если f (z) = 1/(z − x)

n+1

для некоторого n ≥ 1, то L

T

Является линейным

комбинация {1/(z − T (x))

j+1

: 1 ≤ j ≤ n}.

Доказательство. Поскольку f имеет только одну особую точку в точке x порядка n + 1, то
L

T

F- рациональная функция на сфере с только одной особой точкой,

в точке T (x) порядка не более n + 1. В частности, L

T

f = O(z

− 2

) в
окрестности ∞, что гарантирует, что в L не существует 1/(z − T (x)) члена

T

f.

Теперь мы введем оператор, который коммутирует с
операторами Перронфробениуса произведений Блашке, выполняя инверсию на
уровне мероморфных функций. Это позволит нам сосредоточиться на полюсах
внутри диска блока и избежать отдельного обращения с полюсами в ∞.
Предшественник появляется в [24, лемма 3.1 c]. Определять

L

Я

f (z) =

¯

F (I(z))

z

2

.

Лемма 18. Оператор L

Я

обладает следующими свойствами:

(a) Если T - конечное произведение Блашке,L

T

L

Я

= L

Я

L

T

;

(b) L

Я

Отображает мероморфные функции в мероморфные функции.

(c) L

Я

Является ограниченной антилинейной инволюцией.

(d) порядок

I(z)

L

Я

f = ord

z

f для f мероморфных и z ∈ ˆ

C.

Доказательство. Сначала мы покажем (а). Используя тождество I ◦ T = T ◦ I, мы имеем

T (z) = lim

h → 0

T (z + h) − T (z)

h

= lim

h → 0

1

T (1/(

z+

Ч))

−

1

T (1/

z)

h

= lim

h → 0

¯

T (1/

z) −

T (1/(

z +

H))

h

T (1/

z)

2

=

T (1/

z)

z

2

¯

T (1/

z)

2

.

Мы выводим T (I(y)) = y

2

T (y)/T (y)

2

Теперь у нас есть

L

T

L

Я

f (z) =

y ∈ T

− 1

z

L

Я

F (y)

T (y)

=

y ∈ T

− 1

z

¯

f (I(y))
y

2

T (y)

;

УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЛАПС СПЕКТРА ЛЯПУНОВА

15

и

L

Я

L

T

f (z) =

L

T

F (I(z))/z

2

=

1

z

2

y ∈ T

− 1

(I(z))

¯

F (y)

T (y)

=

1

z

2

y ∈ T

− 1

(z)

¯

F (I(y))

T (I(y))

=

1

z

2

y ∈ T

− 1

(z)

¯

F (I(y))T (y)

2

y

2

T (y)

= L

T

L

Я

F (z).

Часть (b) является стандартной; ограниченность вытекает из того факта, что |

1

z

2

| ≤

1

R

2

на ∂ А

R

; что Л

Я

является инволюцией, и то, что она сохраняет порядки, - это
простые вычисления.

Лемма 19. Пусть T - конечное произведение Блашке, пусть x ∈ C \ C

1

И пусть

f (z) = 1/(z − x). Затем

L

T

f (z) =

1

z − T (x)

−

1

z − T (∞)

,

где 1/(z − ∞) интерпретируется как постоянная функция 0.