Тогда показатели Ляпунова возмущенного

Коцикл сходится к невозмущенному коциклу, как

сокращается до 0. Это следует из рассмотрения обоих коциклов как
коциклов над σ × τ (даже если начальный коцикл зависит только от
первого компонента). Затем результат следует из предыдущего
примера.

(3) (отожженное случайное возмущение) Пусть L

ω

= N ◦ L

ω

Определить а

коцикл над σ.

У нас есть Л

ω

ф − Л

ω

f = (N − I)L

ω

f.

Согласно
расчетам, приведенным в лемме 21, для любого r < ρ < R
существует c > 0, такое, что e

n

Коэффициент L

ω

F имеет абсолютное

значение не более c(ρ /R)

| н |

F. По расчетам, приведенным в разделе 5.1,

N − I является диагональным оператором относительно e

n

С, скал -

Инг е

n

По e

− 2π

2

n

2 2

− 1 ≤ 2π

2

n

2 2

. Следовательно, для любого ω ∈ Ω и

любой f ∈ H

2

(А

R

), коэффициенты в разложении Лорана по

(L

ω

− Я

ω

)f имеют абсолютное значение не более 2 π

2 2

cn

2

(ρ /R)

| н |

В

В частности, мы видим, что sup

ω ∈ Ω

L

ω

− Я

ω

→ 0 как

→ 0, так что
мы можем применить теорему 5. Следовательно, показатели Ляпунова различаются

40

СЕСИЛИЯ ГОНЦ

АЛЕЗ - ТОКМАН И ЭНТОНИ КВАС

непрерывно, что сильно контрастирует с ситуацией в разделе 5.1
, связанной с применением тех же возмущений к другому коциклу.

Приложение A. Сравнение спектра Ляпунова и

Разделение оселедетов на разные функции

Пространства

Пусть R = (Ω, P, σ, X, L) случайная линейная динамическая система и

Предположим, что X- это плотное подпространство X, снабженное нормой

·

X

Такой, что

x

X

≥ x

X

для всех x ∈ X и L

ω

(X) ⊂ X. Тогда мы

скажем, R = (Ω, P, σ, X, L|

X

) является плотным ограничением R. Мы переформулируем
теорему 7 более точно на этом языке.

Теорема 37 (Сравнение показателей Ляпунова
и расщеплений Оселедца). Пусть R = (Ω, P, σ, X, L) - случайная линейная динамическая система
с эргодическим обратимым основанием и пусть R- ее плотное ограничение на
банахово пространство X. Предположим, что две системы удовлетворяют предположениям
теоремы 11.

Пусть X = W (ω) ⊕

l
j=1

V

j

(ω) и X = W (ω) ⊕

l
j=1

V

j

(ω) быть

расщепления, связанные с R и R соответственно, и пусть { λ

j

}

1≤j≤l

и

{ λ

j

}

1≤j≤l

Будьте соответствующими исключительными показателями Ляпунова. Затем,

всякий раз, когда max(λ

j

, λ

j

) > α:= max(κ (R), κ (R)),

(1) λ

j

= λ

j

; и

(2) Для P-a. e. ω, V

j

(ω) = V

j

(ω).

Для каждого ω ∈ Ω, f ∈ X, пусть λ

X

(ω, f) = lim sup

n → ∞

1

n

Журнал L

(n)
ω

f

X

.

Если f ∈ X, мы определяем λ

X

(ω, f) = ограниченная поддержка

n → ∞

1

n

Журнал L

(n)
ω

f

X

.
В доказательстве потребуется следующий результат.

Лемма 38 (Совпадение внешних показателей). Пусть R, R и α будут
такими, как в теореме 37. Тогда для каждого f ∈ X, для которого λ

X

(ω, f) > α

у кого - то есть эта λ

X

(ω, f) = λ

X

(ω, f).

Замечание. Несколько иной результат был установлен в [10, теорема 3.3].
Для полноты мы включаем доказательство леммы 38.

Доказательство. Пусть f ∈ X удовлетворяет λ

X

(ω, f) > α. Ясно, λ

X

(ω, f) ≤ λ

X

(ω, f).

Так как λ

X

(ω, f) > α, существует j такой, что λ

X

(ω, f) = λ

j

Напишите

V

j

(ω) для соответствующего подпространства Оселедец X и обратите внимание, что

V

j

(ω) также является подпространством X. Так как V

j

(ω) конечномерно, там

существует положительная измеримая функция c(ω), такая, что g

X

≥ c(ω) g

X

для всех g ∈ V

j

(ω). Теперь запишите f = g + h с g ∈ V

j

(ω) и h ∈ F

j

(ω).

У нас есть

L

(n)
ω

f

X

≥ L

(n)
ω

g

X

− Л

(n)
ω

h

X

≥ L

(n)
ω

g

X

c(σ

n

ω) − L

(n)
ω

h

X

СТАБИЛЬНОСТЬ И КОЛЛАПС СПЕКТРА ЛЯПУНОВА

41

Принимая предел вдоль положительной последовательности плотностей n, где c(σ

n

ω) является

ограниченные от 0, мы видим, что λ

X

(ω, f) ≥ λ

X

(ω, f), так что эти
две величины согласуются.

Доказательство теоремы 37. Мы докажем результат с помощью индукции. Предположим, что λ

i

=

λ

i

И В

i

(ω) = V

i

(ω) для P-a.e. ω для i = 1,..., j − 1, при j ≥ 1. Если

λ

j

> α, то пусть f ∈ V

j

(ω) и применяя приведенную выше лемму, мы видим

это...

j

≥ λ

j

.

Используя непрерывность Π

F

j − 1

(ω) E

j − 1

(ω)

И индукционная гипотеза,

F

j − 1

(ω) ∩ X = Π

F

j − 1

(ω) E

j − 1

(ω)

(X) является плотным в F

j − 1

(ω) и, следовательно,

Π

E

j

(ω) F

j

(ω)

(X ∩ F

j − 1

(ω)) = V

j

(ω). Пусть U - подпространство X ∩ F

j − 1

(ω)

Размером m

j

= тусклый V

j

(ω) такое, что Π

E

j

(ω) F

j

(ω)

(U) = V

j

(ω). Теперь

если h ∈ U \ {0}, то λ

X

(ω, h) = λ

X

(ω, h) = λ

j

.

Отсюда следует, что λ

j

является исключительным показателем R и λ

j

≥ λ

j

, так что

это...

j

= λ

j

Так как U равно m

j

- размерный, мы утверждаем, что в

j

(ω) имеет

Размер не менее м

j

Чтобы увидеть это, обратите внимание, что если бы это было не так, то возникло бы

ненулевой элемент U, проекция которого под Π

V

j

(ω)

было бы тривиально,
так что скорость роста этого элемента была бы строго меньше
λ

j

, приводя к противоречию. По лемме 38 мы видим, что V

j

(ω) ⊂ V

j

(ω)

И приведенный выше аргумент показывает, что dim V

j

(ω) ≥ 5 В

j

(ω), так что

V

j

(ω) = V

j

(ω) по мере необходимости.

A. 1. Пример. Мы рассматриваем конечные произведения Блашке вида B(z) =
z

n
j=1

z+ ζ

j

1+ ¯

ζ

j

z

. Обратите внимание, что B(0) = 0 и B (0) =

n
j=1

ζ

j

Кроме того,

[18, Предложение 1] гарантирует, что inf

|z|=1

|B (z)| ≥ 1 +

n
j=1

1 − | ζ

j

|

1+| ζ

j

|

> 1.

Для 0 < a

a

(z) = z

з−а

1 −аз

2

Обратите внимание, что B

a

(0) = a

2

и

Inf

|z|=1

|B

a

(z)| ≥ 1 +

2(1 −а)

1+ а

. Пусть Ω = {0, 1}

Z

, σ быть картой сдвига, и

P- мера Бернулли с P([0]) = 0,5. Пусть L

0

Будь тем самым Перроном -

Оператор Фробениуса В

0.5

, Л

1

Быть оператором Перрона - Фробениуса для

B

0.6

и рассмотрим оператор коцикла R = (Ω, P, σ, X, L), порожденный

По L

ω

:= L

ω

0

, действуя на X = C

3

(С

1

), а также плотное ограничение

R = (Ω, P, σ, X, L|

X

), где X = H

2

(А

R

) (так как оба B

0.5

И Б

0.6