Доказательство . Из теоремы 16 следует , что L

T

F- рациональная функция с

особенности порядка 1 при T (x) и T (∞):

L

T

f =

a

z − T (x)

+

b

z − T (∞)

.

Для того, чтобы L

T

f не имеют сингулярности при ∞, мы должны иметь b = − a.

Если |x|

что a = 1, как требуется.

Если |x| > 1, то L

T

f = L

Я

L

T

L

Я

F. Мы вычисляем L

Я

f (z) = 1/z −

1/(z − I(x)), и с использованием первой части L

T

L

Я

f (z) = 1/(z − T (0)) −

1/(z − T (I(x))). Применение L

Я

И снова мы приходим к

L

T

f (z) =

1

z − I(T (I(x)))

−

1

z − I(T (0))

=

1

z − T (x)

−

1

z − T (∞)

,

По мере необходимости.

Следствие 20. Пусть T = (T

ω

) быть коциклом расширения конечного Блашке

Продукты. Пусть x

ω

∈ Д

r

Быть случайной неподвижной точкой. В пространстве E

0

(ω),

16

СЕСИЛИЯ ГОНЦ

АЛЕЗ - ТОКМАН И ЭНТОНИ КВАС

охватывается ˆ

e

0, ω

Где

ˆ

e

0, ω

(z) =

1

z − x

ω

−

1

z − I(x

ω

)

представляет собой одномерное эквивариантное подпространство с показателем Ляпунова 0.

Если x ∈ D

r

и f (z) = 1/(z − x), то L

(n)
ω

ф...

e

0, σ

n

ω

→ 0.

Это следствие можно рассматривать как случайную версию результата
Мартина [18], выражающую инвариантную меру расширяющегося
продукта Блашке в виде ядра Пуассона.

Доказательство. По лемме 19 и тому факту, что L

T

1

◦ T

2

= L

T

1

◦ L

T

2

, мы видим

L

(n)
ω

f (z) =

1

з − Т

(n)

ω

(x)

−

1

з − Т

(n)

ω

(∞)

.

Из этого следует заявленная эквивариантность. С | Т

(n)

ω

(x) − x

σ

n

ω

| → 0, мы видим

Тот

1

з − Т

(n)

ω

(x)

−

1

z − x

σ

n

ω

→ 0.

Аналогично, поскольку T

(n)

ω

(∞) = I(T

(n)

ω

(0)), из следствия 14 мы видим, что

d

ˆ

C

(Т

(n)

ω

(∞), I(x

σ

n

ω

)) → 0, где d

ˆ

C

Является стандартным показателем на

Сфера Римана. Из этого следует, что

1

з − Т

(n)

ω

(∞)

−

1

z − I(x

σ

n

ω

)

→ 0,

По мере необходимости.

Теперь мы покажем, что гипотезам теоремы 11 удовлетворяет
коцикл операторов Перрона - Фробениуса произведений Блашке, удовлетворяющий
r

T

(R)

Лемма 21. Пусть 0 < R Если r

T

(R), r

˜

T

(R) ≤ r

L

T

−

L

˜

T

≤ C max

x ∈ C

1

|T (x) −

T (x)|, где C- константа, зависящая только
от r и R. В частности, ограничивается продуктами Blaschke, удовлетворяющими
r

T

(R)

T

Продолжается.

Доказательство. Напомним, что Ч

2

(А

R

) является гильбертовым пространством относительно внутренней

Продукт f, g

=

1

2π

∂ А

R

F (z)g(z)

| дз |

|z|

В отношении этого внутреннего

Продукт, функции e

n

(z) = d

n

z

n

Образуют ортонормированный базис

H

2

(А

R

), где d

n

= (R

2n

+ R

− 2n

)

− 1/2

, так что d

n

∼ Р

| н |

.

УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЛАПС СПЕКТРА ЛЯПУНОВА

17

Теперь мы вычисляем

L

T

(f), е

n

=

d

n

Ни

∂ А

R

L

T

F (z)

z

n

Dz/z

=

d

n

Ни

C

R

L

T

F (z)R

2n

/z

n

Дз

z

+

C

Р

L

T

F (z)R

− 2n

/z

n

Дз

z

=

d

n

(R

2n

+ R

− 2n

)

Ni

C

1

L

T

F (z)

z

n+1

Дз

=

1

Нид

n

C

1

F (z)

T (z)

n+1

Дз.

Пусть f - произвольный элемент H

2

(А

R

) и пусть n ≥ 0. Пусть T и

˜

T - любые два продукта Блашке, удовлетворяющие r

T

(R) ≤ r и r

˜

T

(R) ≤ r

Для некоторых r

z ∈ C

1

|T (z) −

T (z)|. Записка от

принцип максимального модуля, |T (z) −

T (z)| ≤ δ для всех z ∈ D

1

Тоже.

Затем деформируем контур до C

Р

, мы видим

| (L

T

− Л

˜

T

)f, e

n

| ≤

1

Е

n

C

Р

|f (z)|

1

T (z)

n+1

−

1

˜

T (z)

n+1

| дз |

≤

1

Рд

n

f

Максимум

z ∈ C

Р

1

T (z)

n+1

−

1

˜

T (z)

n+1

=

1

Рд

n

F макс

z ∈ C

R

|T (z)

n+1

− ˜

T (z)

n+1

|

≤

(n + 1)r

n

Rd

n

F макс

z ∈ C

R

|T (z) −

T (z)|

≤

2(n+1)

R

(

r

R

)

n

δ f,

где для третьей строки мы использовали тот факт, что продукты Blaschke
коммутируют с инверсией, а для четвертой строки мы использовали r

T

(R), r

˜

T

(R) ≤ r.
Если n = − k при k ≥ 1, то аналогичное вычисление, деформирующее
контур до C

R

, показывает

| (L

T

− Л

˜

T

)f, e

n

| ≤

2(к− 1)

R

(

r

R

)

к− 2

δ f.

В частности, начиная с (е

n

) формируем ортонормированный базис, выводим

(L

T

− Я

˜

T

)f ≤ C δ f,

Где C зависит только от r и R, как требуется.

Мы отмечаем, что r

T

(R) непрерывно зависит от T. Следовательно, если r

T

(R)

и

T достаточно близко к T, то r

˜

T

(R) ≤

Р + р

T

(R)

2

< Р а последний

Утверждение леммы следует из приведенного выше аргумента.

18

СЕСИЛИЯ ГОНЗ

АЛЕЗ - ТОКМАН И ЭНТОНИ КВАС

Следствие 22. Пусть r < ρ < R < 1. Существует C > 0 такой, что если < 1. Существует C >
, то произведение T Блашке удовлетворяет r

T

(R) ≤ r, тогда L

T

H

2

(А

R

) → H

2

(А

ρ

)

≤

C. В частности, L

T

Компактен как оператор из H

2

(А

R

) к себе.

Доказательство. Во - первых, обратите внимание на доказательство теоремы 16, что L

T

F является аналитическим

На

r

Как и в приведенном выше доказательстве,

e

n

(z) =

d

n

z

n

Является ортонормированным базисом

Для Ч

2

(А

ρ

), где

d

n

= (ρ

2n

+ ρ

− 2n

)

− 1/2

Как указано выше, L

T

f,

e

Н Ч

2

(А

ρ

)

=

1

Ни

d

n

C

1

F (z)/T (z)

n+1

Dz. Деформация контура до С

Р

В данном случае

где n ≥ 0 и C

R

Когда n

T

f,

e

Н Ч

2

(А

ρ

)

| ≤

C(r/ ρ)

| н |

F. Поскольку это суммируемое в квадрате, следует результат.

В контексте теоремы 1 отображение ω → T

ω

Поддается измерению, и

карта T → L

T

является непрерывным, так что композиция ω → L

T

ω

Удовлетворяет гипотезам теоремы 11.

Лемма 23. Пусть R - случайная линейная динамическая система, удовлетворяющая
условиям теоремы 11. Пусть E

j

(ω) - j- е “ быстрое пространство ” V

1

(ω) ⊕

· · · ⊕ В

j

(ω) и пусть F

j

(ω) - дополнительное “ медленное пространство ”. Если V является

подпространство X, удовлетворяющее Π

E

j

(ω) F

j

(ω)

(V) = E

j

(ω), то

Отхлебывать

x ∈ E

j

(σ

n

ω) ∩ S(X)

D(x, L

(n)
ω

V) → 0 как n → ∞.

Доказательство. Мы пишем E и F для E

j

(ω) и F

j

(ω). Пусть W - подпространство

из V той же размерности, что и E, такой, что Π

E F

(W) = E. Пусть Q =

(Π

E F

|

W

)

− 1

. Пусть 0 < 2

j

− λ

j+1

И С

ω

> 0 удовлетворяет для каждого

x ∈ E

j

(σ

n

ω), и u ∈ E такое, что L

(n)
ω

u = x, u ≤ C

ω

e

− (λ

j

−)n

x;

и для каждого f ∈ F, L

(n)
ω

f ≤ C

ω

e

(λ

j+1

+)n

f. Теперь Qu − u = Qu −

Π

E|F

Q ∈ F, так что L

(n)
ω

(Qu − u) ≤ C

ω

e

(λ

j+1

+)n

Ку − у. Следовательно,

L

(n)
ω

(Qu) − x

≤ C

2
ω

e

− (λ

j

− λ

j+1

-2) н

(Q + 1) x. Так как L

(n)
ω

(Qu) ∈

L

(n)
ω

W ⊂ L

(n)
ω