Так как (1/ млн ) логарифм e

− nmn

(λ

(mn)
ω

)

к− 1

сходится к λ

k

− η для P-a.e.

ω, мы определили (2k − 1)- мерное подпространство, а именно E

k

(ω),

на котором каждый вектор имеет показатель Ляпунова не менее λ

k

− η, так что

показатели Ляпунова возмущенного коцикла, µ

j

(снова перечислено с

кратность) удовлетворяет µ

2 к− 1

> µ

2 к− 1

− η и µ

2 к− 2

≥ µ

2 к− 1

> µ

2 к− 1

− η =

µ

2 к− 2

− η. Поскольку η и k произвольны, это устанавливает меньшую
полунепрерывность каждого показателя Ляпунова для произвольных малых возмущений
исходного коцикла.

Чтобы доказать непрерывность показателей для возмущений
коцикла, достаточно показать стандартное свойство верхней полунепрерывности
частных сумм показателей Ляпунова: что для каждого l и каждого
η > 0 для всех достаточно малых

> 0, у одного есть

µ

1

+... µ

l

< µ

1

+... + µ

l

+ η.

Чтобы показать это, определите

E

l

(L) =

Отхлебывать

f

1

,...,f

l

; φ

1

,..., φ

l

det(φ

i

(Lf

j

))

1≤i,j≤l

,

Где f

1

,..., f

l

и φ

1

,..., φ

l

Пробегите по единичной сфере H

2

(А

R

)

И единичная сфера двойного пространства соответственно.

Количество

E

l

Является суб - мультипликативным (это стандартно для гильбертовых пространств и было

продемонстрировано для произвольных банаховых пространств в [21]).

Результаты [12]
в сочетании с аддитивной эргодической теоремой Кингмана показывают, что
inf

n

(1/n)

Журнал E

l

(L

(n)
ω

) dP(ω) = µ

1

+... + µ

l

В частности, для любого

η и любое l существует n > 0 такое, что

1

n

Журнал E

l

(L

(n)
ω

) dP(ω)

µ

1

+... + µ

l

+ η /2.

Для любых коллекций F = (f

1

,..., f

l

) функций в единичной сфере

H

2

(А

R

) и Φ = (φ

1

,..., φ

l

) элементов единичной сферы H

2

(А

R

)

∗

,

Пусть E

F, Φ

(L) = det(φ

i

(Lf

j

)).

Эти карты равноконтинентальны, и

действительно, равномерно равнопрочный, если он ограничен {L: H

2

(А

R

) →

H

2

(А

R

): L ≤ K} для любого K, так что L → E

l

(L) является непрерывным, если
ограничено операторами нормы не более K. Из
следствия 22 следует, что существует

> 0 такое, что для a.e. ω ∈ Ω, |E

l

(L

ω

(n)

) −

E

l

(L

(n)
ω

)| <

η
2

Следовательно, для достаточно малых

> 0,

Журнал E

l

(L

ω

(n)

|

H

2

(А

R

)

−

) dP(ω)

1

+... + µ

l

+ η,

Так что сумма первых l ляпуновских показателей L

ω

Коцикл

Ограничено до Ч

2

(А

R

)

−

составляет не более µ

1

+... + µ

l

+ η. Это устанавливает
для каждого l верхнюю полунепрерывность суммы первых l
показателей Ляпунова при возмущениях исходного коцикла по мере необходимости.

36

СЕСИЛИЯ ГОНЦ

АЛЕЗ - ТОКМАН И ЭНТОНИ КВАС

Теперь мы покажем, что можем вывести теорему 5 как следствие из
вышесказанного.

Лемма 35. Пусть σ - эргодическое преобразование (Ω, P) и пусть n ∈ N.
Тогда существует k, коэффициент n и σ

n

- инвариантное подмножество B из Ω

меры 1/k такой, что Ω =

k − 1
i=0

σ

− я

B и σ

n

|

B

Является эргодическим. То

эргодические компоненты P при σ

n

Являются ли ограничения P на множества

σ

− я

B. Если (A

ω

) является коциклом матрицы или оператора над σ, то коцикл

(А

(n)
ω

) более σ

n

ограничено до σ

− я

B имеет показатели Ляпунова (n λ

j

) где

(λ

j

) являются показателями исходного коцикла.

Для доказательства можно найти наибольший фактор k из n такой, что e

Ni/ к

Является ли

собственное значение оператора f → f ◦ σ

n

На L

2

(Ω). Множество B является уровнем

Множество собственного вектора.

Для a ∈ D

1

, пусть М

a

Будь М

преобразование обиуса М

a

(z) = (z +

а)/(1 +

az), отправляя 0 в а и сохраняя единичный круг, так что
, в частности, эти преобразования являются продуктами Блашке. Мы записываем
без доказательств следующие простые факты о M

преобразования обиуса.

Лемма 36. Пусть | а |

a

Будьте, как указано выше. Затем

(а) М

− 1

a

= M

− а

(b) Для z в закрытом дисковом блоке, | М

a

(z) − z| ≤ 2|a|/(1 − |a|). В

в частности, если | а |

1
3

, затем | М

a

(z) − z|;

(c) | М

a

(z)| ≤

1+| а |
1 − | а |

Для всех z на диске закрытого блока.

Доказательство теоремы 5. Сначала мы докажем часть (а). Пусть σ, (Ω, P) и (T

ω

) быть

Как в изложении теоремы, и пусть R

T

(R)

R. Пусть x

ω

Быть случайной неподвижной точкой (T

ω

), как гарантируется теоремой

1. Теперь мы определяем новое сопряженное семейство коциклов:

˜

T

ω

= M

− 1

x

σω

◦ Т

ω

◦ М

x

ω

,

Так что

T

ω

(0) = 0 для P-a.e. ω и

T

(n)

ω

= M

− 1

x

σ n ω

◦ T

(n)

ω

◦ М

x

ω

Если

|z| ≤ A:= (R − r)/(1 − rR), то для любого x ∈

D

r

, | М

x

(z)| ≤ R,

Так что Т

(n)

ω

◦ М

x

ω

(¯

D

A

) содержится в пересечении

D

r

с

Диск радиуса c(

r

R

)

n

О x

σ

n

ω

, Так как постоянная Липшица

M

x

Является

1+|x|
1 − |x|

И М

− 1

x

σ n ω

(x

σ

n

ω

) = 0, мы видим, что

T

(n)

ω

(¯

D

A

) ⊂ ¯

D

a

Где

а =

1+r
1 − r

c(

r

R

)

n

Пусть n выбрано таким образом, чтобы a

A зависят от ω, как и n. Пусть B - эргодическая составляющая σ

n

Как

Гарантируется леммой 35 и рассмотрим коцикл

L

(n)
ω

ограничено до B.
Для P-a. e. ω выполняется условие (c) леммы 34. Условие (а)
явно выполнено, и приведенные выше оценки Липшица в сочетании с

УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЛАПС СПЕКТРА ЛЯПУНОВА

37

Предположение, что ess inf

ω

| Т

ω

(x

ω

)| > 0 показать, что ess inf

ω

| ˜

T

(n)

ω

(0)| > 0.

Следовательно, спектр Ляпунова для коцикла (

L

(n)
ω

)

ω ∈ B

, с базой

динамика σ

n

: B → B, является стабильным, как показано в лемме 34. Вместе
с заключительной частью леммы 35 это подразумевает стабильность спектра Ляпунова
для коцикла (

L

ω

) над Ω. Поскольку этот коцикл сопряжен с

Оригинальный коцикл: L

(n)
ω

= L

M

x σ n ω

◦ ˜

L

(n)
ω

◦ L

M

− 1

xw

И Л

M

±1

x

Равномерно